Question

如圖所示，一質(zhì)量為m₁、長(zhǎng)為L(zhǎng)的長(zhǎng)木板放在很長(zhǎng)的光滑水平桌面上，板的左端有一質(zhì)量為m₂的小滑塊．滑塊用一很長(zhǎng)細(xì)線(xiàn)跨過(guò)桌面邊沿定滑輪，現(xiàn)以恒定速度v向下拉線(xiàn)，滑塊最多只能到達(dá)板的中點(diǎn)，已知整個(gè)過(guò)程板的右端都不會(huì)到達(dá)桌面邊沿．試求
（1）當(dāng)滑塊剛到達(dá)木板中點(diǎn)時(shí)木板的位移；
（2）若木板與桌面間有摩擦，為使滑塊能達(dá)到木板的右端，木板與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？

Answer 1

分析：（1）由題意知，滑塊做勻速運(yùn)動(dòng)，木板做勻加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)滑塊滑到木板的中點(diǎn)時(shí)，兩者速度相等，均為v，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式分別表示兩個(gè)物體的位移，根據(jù)位移之差等于

1

2

L，即可求出木板的位移；
（2）當(dāng)桌面光滑時(shí)，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)結(jié)合求出滑塊與長(zhǎng)木板之間摩擦因數(shù)μ₁．如果板與桌面有摩擦，因?yàn)殚L(zhǎng)木板與桌面摩擦因數(shù)越大，滑塊越易從右端滑下，所以當(dāng)滑塊滑到長(zhǎng)木板右端兩者剛好共速時(shí)摩擦因數(shù)最小，設(shè)為μ₂．對(duì)木板，運(yùn)用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式，結(jié)合滑塊與長(zhǎng)木板的位移之差等于L，即可求得μ₂．從而得到其范圍．

解答：解：（1）滑塊與長(zhǎng)木板相對(duì)滑動(dòng)過(guò)程
小滑塊m₁勻速運(yùn)動(dòng)，則有：vt=s₁ ①
長(zhǎng)木板m₂勻加速運(yùn)動(dòng)，則有：

1

2

vt=s₂ ②
又幾何關(guān)系得：s₁-s₂=

1

2

L ③
聯(lián)立以上三式得s₂=

1

2

L
（2）設(shè)滑塊與長(zhǎng)木板之間摩擦因數(shù)為μ₁
當(dāng)桌面光滑時(shí)有 μ₁m₂g=m₁a₁ ④
v²=2a₁s₂ ⑤
由④⑤得μ₁=

m1v2

m2gL

如果板與桌面有摩擦，因?yàn)殚L(zhǎng)木板與桌面摩擦因數(shù)越大，滑塊越易從右端滑下，所以當(dāng)滑塊滑到長(zhǎng)木板右端兩者剛好共速時(shí)摩擦因數(shù)最小，設(shè)為μ₂
對(duì)長(zhǎng)木板有：m₁a₂=μ₁m₂g-μ₂（m₁+m₂）g ⑥
          

v

2

t′=s′2 ⑦

          v²=2a₂s′₂ ⑧
對(duì)滑塊有：vt′=s′₁  ⑨
又 s′₁-s′₂=L ⑩
聯(lián)立以上五式得 μ₂=

m1v2

2(m1+m2)gL

所以桌面與板間的摩擦因數(shù)μ≥

m1v2

2(m1+m2)gL

答：
（1）當(dāng)滑塊剛到達(dá)木板中點(diǎn)時(shí)木板的位移是

1

2

L；
（2）若木板與桌面間有摩擦，為使滑塊能達(dá)到木板的右端，木板與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足的條件是μ≥

m1v2

2(m1+m2)gL

．

點(diǎn)評(píng)：明確臨界條件，弄清物塊和木板之間的位移、速度、加速度關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．