Question

20．如圖甲所示，水平傳送帶以5.0m/s恒定的速率運(yùn)轉(zhuǎn)，兩皮帶輪之間的距離l=6m，皮帶輪的半徑大小可忽略不計(jì)．沿水平傳送帶的上表面建立xOy坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)O在傳送帶的最左端．半徑為R的光滑圓軌道ABC的最低點(diǎn)A點(diǎn)與C點(diǎn)原來(lái)相連，位于豎直平面內(nèi)（如圖乙所示），現(xiàn)把它從最低點(diǎn)處切開(kāi)，并使C端沿y軸負(fù)方向錯(cuò)開(kāi)少許，把它置于水平傳送帶的最右端，A點(diǎn)位于x軸上且與傳送帶的最右端之間的距離可忽略不計(jì)，軌道的A、C兩端均位于最低點(diǎn)，C端與一水平直軌道平滑連接．由于A、C兩點(diǎn)間沿y軸方向錯(cuò)開(kāi)的距離很小，可把ABC仍看作位于豎直平面內(nèi)的圓軌道．將一質(zhì)量m=1kg的小物塊P（可視為質(zhì)點(diǎn)）沿x軸輕放在傳送帶上某處，小物塊隨傳送帶運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)進(jìn)入光滑圓軌道，恰好能夠通過(guò)圓軌道的最高點(diǎn)B，并沿豎直圓軌道ABC做完整的圓周運(yùn)動(dòng)后由C點(diǎn)經(jīng)水平直軌道滑出．已知小物塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，圓軌道的半徑R=0.5m，取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）物塊通過(guò)圓軌道最低點(diǎn)A時(shí)對(duì)軌道壓力的大�。�
（2）輕放小物塊位置的x坐標(biāo)應(yīng)滿(mǎn)足什么條件，才能完成上述運(yùn)動(dòng)；
（3）傳送帶由電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)，其與輪子間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，不計(jì)輪軸處的摩擦．若將小物塊輕放在傳送帶上O點(diǎn)，求將小物塊從O點(diǎn)運(yùn)送至A點(diǎn)過(guò)程中電動(dòng)機(jī)多做的功．

Answer 1

分析 （1）物塊恰好通過(guò)圓軌道最高點(diǎn)B時(shí)，由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出B點(diǎn)速度．物塊由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)的過(guò)程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出A點(diǎn)速度，在A點(diǎn)根據(jù)牛頓第二定律、第三定律即可求解；
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出物塊在傳送帶上的加速度，根據(jù)（1）可知物體到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的速度與傳送帶速度相等，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式求出物體在傳送帶上加速的位移，從而求出輕放小物塊的位置坐標(biāo)需滿(mǎn)足的條件；
（3）根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式求出物塊相對(duì)于傳送帶運(yùn)動(dòng)的位移，根據(jù)結(jié)合功能關(guān)系求解即可．

解答 解：（1）設(shè)物塊恰好通過(guò)圓軌道最高點(diǎn)B時(shí)的速率為v_B，根據(jù)牛頓第二定律有：
    mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)得：v_B=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×0.5}$=$\sqrt{5}$m/s
設(shè)物塊通過(guò)圓軌道最低點(diǎn)A的速率為v_A，對(duì)于物塊由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)的過(guò)程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：
  $\frac{1}{2}$mv_A²=$\frac{1}{2}$m v_B²+2mgR
代入數(shù)據(jù)解得：v_A=5.0m/s
設(shè)物塊通過(guò)圓軌道最低點(diǎn)A時(shí)，軌道對(duì)物塊的支持力為F_N，根據(jù)牛頓第二定律有：
   F_N-mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$；
代入數(shù)據(jù)解得：F_N=6mg=6×1×10N=60N
據(jù)牛頓第三定律，物塊通過(guò)圓軌道最低點(diǎn)A對(duì)軌道的壓力為：F′_N=F_N=60N
（2）物塊在傳送帶上的加速度為：a=μg=0.5×10=5.0m/s²
根據(jù)（1）可知物塊運(yùn)動(dòng)至A點(diǎn)的速度滿(mǎn)足v_A=5.0m/s，
可使其恰好通過(guò)圓軌道最高點(diǎn)B．傳送帶的速率為：v₀=5.0m/s，
物塊在傳送帶上加速運(yùn)動(dòng)的位移為：x₀=$\frac{{v}_{A}^{2}}{2a}$=$\frac{{5}^{2}}{2×5}$m=2.5m，
故輕放小物塊的位置坐標(biāo)需滿(mǎn)足：x≤l-x₀=3.5m
（3）設(shè)為將小物塊從O點(diǎn)運(yùn)送到A點(diǎn)傳送帶電動(dòng)機(jī)做的功為W，小物塊加速運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：
   t=$\frac{{v}_{A}}{a}$=$\frac{5}{5}$=1.0s，
小物塊加速運(yùn)動(dòng)的位移：x=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}$×5×1=2.5m
根據(jù)功能關(guān)系有：W=$\frac{1}{2}$mv_A²+μmg（v₀t-x）
代入數(shù)據(jù)解得：W=25J．
答：
（1）物塊通過(guò)圓軌道最低點(diǎn) A 時(shí)對(duì)軌道壓力的大小為60N；
（2）輕放小物塊位置的 x 坐標(biāo)應(yīng)滿(mǎn)足x≤l-x₀=3.5m，才能完成上述運(yùn)動(dòng)；
（3）將小物塊從 O 點(diǎn)運(yùn)送至 A 點(diǎn)過(guò)程中電動(dòng)機(jī)多做的功為25J．

點(diǎn)評(píng) 本題要分析清楚物塊的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，知道物塊恰好通過(guò)圓軌道最高點(diǎn)B時(shí)，由重力提供向心力是解題的突破口，同時(shí)還要注意分析功能關(guān)系，明確多做功的計(jì)算方法．