Question

11．如圖所示，環(huán)形區(qū)域內有垂直于紙面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B，內圓半徑為R，外圓半徑為（1+$\sqrt{2}$）R，兩圓的圓心（重合）處不斷向外發(fā)射電荷量為q、質量為m的帶正電粒子，不計粒子所受重力及粒子間相互作用，粒子發(fā)射速度方向都水平向右，而速度大小都不同，導致一部分粒子從外圓飛出磁場，而另一部分粒子第一次出磁場是飛入內圓．
（1）如果粒子從外圓飛出磁場，求粒子的速度大小范圍．
（2）如果粒子從外圓飛出磁場，求這些粒子在磁場中運動的時間范圍．
（3）如果粒子第一次出磁場是飛入內圓，求這些粒子從進入磁場到第一次出磁場所用的時間范圍．

Answer 1

分析 （1）當粒子的軌跡和外圓相切時，根據幾何關系求出半徑，由洛倫茲力提供向心力求出速度${v}_{1}^{\;}$，粒子要從外圓飛出，則粒子速度$v＞{v}_{1}^{\;}$
（2）剛好從外圓飛出時，粒子在磁場中運動的時間最長，求出最長時間，即可求出這些粒子在磁場中運動的時間范圍；
（3）粒子第一次出磁場是飛入內圓，求出軌跡圓弧所對圓心角范圍，結合周期公式，即可得出這些粒子從進入磁場到第一次出磁場所用的時間范圍

解答 解：（1）粒子射出的速度大小不同，軌跡圓的半徑不同，設剛好與外圓相切時，軌跡圓半徑為r₁，如圖所示
由幾何關系有：（$\sqrt{2}R$+R-r₁）²=R²+${r}_{1}^{2}$
得：r₁=R
洛倫茲力提供向心力，有：qv₁B=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}^{\;}}$
聯立得：v₁=$\frac{qBR}{m}$
如果粒子從外圓飛出，則粒子的速度為：v＞$\frac{qBR}{m}$
（2）設粒子在磁場中做勻速圓周運動的周期為T，則有：
T=$\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{qB}$
剛好從外圓飛出時，粒子在磁場中運動的時間最長，其軌跡圓弧對應的圓心角為θ=$\frac{3π}{4}$
則從外圓飛出磁場的粒子在磁場中運動的時間t₁＜$\frac{\frac{3π}{4}}{2π}T$，得0＜t₁＜$\frac{3πm}{4qB}$
（3）若粒子第一次出磁場是飛入內圓，則其軌跡圓弧所對圓心角范圍為：π＜θ＜$\frac{3}{2}$π
飛入內圓的粒子在磁場中運動的時間t₂滿足：$\frac{T}{2}$＜t₂＜$\frac{\frac{3π}{2}}{2π}T$
得：$\frac{πm}{qB}$＜t₂＜$\frac{3πm}{2qB}$
答：（1）如果粒子從外圓飛出磁場，粒子的速度大小范圍$v＞\frac{qBR}{m}$．
（2）如果粒子從外圓飛出磁場，這些粒子在磁場中運動的時間范圍$0＜{t}_{1}^{\;}＜\frac{3πm}{4qB}$．
（3）如果粒子第一次出磁場是飛入內圓，這些粒子從進入磁場到第一次出磁場所用的時間范圍$\frac{πm}{qB}＜{t}_{2}^{\;}＜\frac{3πm}{2qB}$

點評 本題考查帶電粒子在磁場及電場中的運動，要注意正確分析物理過程，明確帶電粒子在磁場中的圓周運動，靈活應用幾何關系求解，注意粒子的周期運動．