Question

4．如圖所示，將某正粒子放射源置于原點(diǎn)O，其向各方向射出的粒子速度大小均為υ₀、質(zhì)量均為m、電荷量均為q．在0≤y≤d的一、二象限范圍內(nèi)分布著一個(gè)左右足夠?qū)挼膭驈?qiáng)電場(chǎng)，方向與y軸正向相同，在d＜y≤2d的一、二象限范圍內(nèi)分布著一個(gè)左右足夠?qū)挼膭驈?qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直于xOy平面向里．粒子第一次離開電場(chǎng)上邊界y=d時(shí)，能夠到達(dá)的最右側(cè)的位置為（$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$d，d），且最終恰沒(méi)有粒子從y=2d的邊界離開磁場(chǎng)，若只考慮每個(gè)粒子在電場(chǎng)中和磁場(chǎng)中各運(yùn)動(dòng)一次，不計(jì)粒子重力以及粒子間的相互作用，求：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E和磁感應(yīng)強(qiáng)度B；
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間和最短時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）沿x軸正方向發(fā)射的粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)基本公式列式求解E；
粒子沿x軸正方向射出的粒子進(jìn)入磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)的角度最大，若該粒子進(jìn)入磁場(chǎng)不能打在ab板上，則所有粒子均不能打在板上．根據(jù)帶電粒子在電場(chǎng)中類平拋運(yùn)動(dòng)，求出進(jìn)入磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)角度，結(jié)合幾何關(guān)系得出軌道半徑，從而得出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小；
（2）粒子運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間對(duì)應(yīng)最大的圓心角，經(jīng)過(guò)（$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$d，d）恰與上邊界相切的粒子軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角最大，根據(jù)幾何關(guān)系結(jié)合周期公式求解

解答 解：（1）沿x軸正方向發(fā)射的粒子能夠到達(dá)最右側(cè)的位置（$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$d，d）．
由類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得：$x=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}d={υ_0}t$，$y=d=\frac{1}{2}a{t^2}$，其中：$a=\frac{qE}{m}$，解得：$E=\frac{3mυ_0^2}{2qd}$，
設(shè)粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度為υ，由動(dòng)能定理有：$qEd=\frac{1}{2}m{υ^2}-\frac{1}{2}mυ_0^2$，解得：υ=2υ₀，
設(shè)射入磁場(chǎng)時(shí)的速度方向與水平方向的夾角為α，則有：$cosα=\frac{υ_0}{υ}=\frac{1}{2}$，解得：α=60°，
設(shè)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，由幾何關(guān)系可知：d=R+R sin30°=1.5R，
粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，洛侖茲力提供向心力：$Bqυ=m\frac{υ^2}{R}$，
將υ=2υ₀、$R=\frac{2}{3}d$代入解得：$B=\frac{{3m{υ_0}}}{qd}$，
（2）粒子運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間對(duì)應(yīng)最大的圓心角，
經(jīng)過(guò)點(diǎn)（$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$d，d）恰與上邊界相切的粒子軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角最大．
由幾何關(guān)系可知最大圓心角：θ_max=240°=$\frac{4π}{3}$，
粒子運(yùn)動(dòng)最長(zhǎng)時(shí)間：${t_{max}}=\frac{4πR}{3υ}=\frac{4πd}{{9{υ_0}}}$，
粒子運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間對(duì)應(yīng)最小的圓心角，
經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$d，d）粒子軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角最小，
由幾何關(guān)系可知最小圓心角：θ_min=120°=$\frac{2π}{3}$，
粒子運(yùn)動(dòng)最短時(shí)間：${t_{min}}=\frac{2πR}{3υ}=\frac{2πd}{{9{υ_0}}}$；
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E為$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{2qd}$，磁感應(yīng)強(qiáng)度B為$\frac{3m{v}_{0}}{qd}$；
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為：$\frac{4πd}{9{v}_{0}}$，最短時(shí)間為：$\frac{2πd}{9{v}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵確定粒子運(yùn)動(dòng)的臨界情況，通過(guò)幾何關(guān)系解決，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)幾何能力要求較高．