Question

6．我國成功發(fā)射了“嫦娥一號(hào)”繞月衛(wèi)星，我國計(jì)劃2020年實(shí)現(xiàn)載人登月，若你通過努力學(xué)習(xí)、刻苦訓(xùn)練有幸成為中國登月第一人，而你為了測定月球表面附近的重力加速度進(jìn)行了如下實(shí)驗(yàn)，在月球表面上空讓一個(gè)小球由靜止開始自由下落，測出下落高度H=20m時(shí)，下落的時(shí)間正好為t=5s，已知月球半徑為R，不考慮月球自轉(zhuǎn)．則：
（1）月球表面的重力加速度g為多大
（2）推導(dǎo)月球的第一宇宙速度v的表達(dá)式
（3）若衛(wèi)星繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)行軌道距離月面高度為h，求衛(wèi)星的運(yùn)行周期T．

Answer 1

分析 1、根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)$h=\frac{1}{2}{g}_{月}{t}^{2}$，代入數(shù)據(jù)化簡可得重力加速度．
2、月球表面的重力等于月球?qū)ξ矬w的萬有引力，第一宇宙速度是環(huán)繞月球表面的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，結(jié)合向心力的表達(dá)式即可求出．
3、根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$即可求出．

解答 解：（1）由自由落體規(guī)律$h=\frac{1}{2}{g}_{月}{t}^{2}$
代入數(shù)據(jù)可得：${g}_{月}=1.6m/{s}^{2}$
（2）設(shè)月球徑為R，繞月衛(wèi)星質(zhì)量為m，在月球的表面的重力等于萬有引力：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m{g}_{月}$
設(shè)繞月軌道半徑為R，繞月衛(wèi)星質(zhì)量為m，由牛頓第二定律
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$
所以：$v=\sqrt{gR}=\sqrt{1.6R}$
（3）又由萬有引力提供向心力，得：$G\frac{Mm}{{（R+h）}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（R+h）$
可得T=$\frac{2π}{R}\sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{g}}$
答：（1）月球表面的重力加速度g_月為1.6m/s²．
（2）月球的第一宇宙速度v的表達(dá)式為v=$\sqrt{1.6R}$；
（3）若衛(wèi)星繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)行軌道距離月面高度為h，衛(wèi)星的運(yùn)行周期為$\frac{2π}{R}\sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{g}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握自由落體運(yùn)動(dòng)的位移時(shí)間公式$h=\frac{1}{2}{g}_{月}{t}^{2}$和速度時(shí)間公式v_y=g_月t．環(huán)繞天體繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由中心天體的萬有引力提供向心力．