Question

（2006?西城區(qū)一模）如圖所示，兩根足夠長(zhǎng)的直金屬導(dǎo)軌MN、PQ平行放置在傾角為θ的絕緣斜面上，兩導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)．M、P兩點(diǎn)間接有阻值為R的電阻．一根質(zhì)量為m的均勻直金屬桿ab放在兩導(dǎo)軌上，并與導(dǎo)軌垂直．整套裝置處于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向垂直于斜面向上．導(dǎo)軌和金屬桿的電阻可忽略．讓金屬桿ab沿導(dǎo)軌由靜止開始下滑，經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間后，金屬桿達(dá)到最大速度v_m，在這個(gè)過(guò)程中，電阻R上產(chǎn)生的熱為Q．導(dǎo)軌和金屬桿接觸良好，它們之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，且μ＜tanθ．已知重力加速度為g．
（1）求磁感應(yīng)強(qiáng)度的大��；
（2）金屬桿在加速下滑過(guò)程中，當(dāng)速度達(dá)到

1

3

v_m時(shí)，求此時(shí)桿的加速度大�。�
（3）求金屬桿從靜止開始至達(dá)到最大速度的過(guò)程中下降的高度．

Answer 1

分析：（1）金屬桿先沿導(dǎo)軌向下做加速度減小的變加速運(yùn)動(dòng)，后做勻速運(yùn)動(dòng)，速度達(dá)到最大值，此時(shí)金屬桿受力平衡，根據(jù)平衡條件和安培力公式，求出磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大�。�
（2）金屬桿在加速下滑過(guò)程中，當(dāng)速度達(dá)到

1

3

vm時(shí)，求出安培力，由牛頓第二定律求解加速度大小．
（3）金屬桿從靜止開始至達(dá)到最大速度的過(guò)程中，其重力勢(shì)能減小，轉(zhuǎn)化為桿的動(dòng)能、摩擦生熱和電路中的焦耳熱，根據(jù)能量守恒定律求解桿下降的高度．

解答：解：（1）當(dāng)桿達(dá)到最大速度時(shí)受力平衡，受力如圖　　

mgsinθ=BIL+μN(yùn)         
N=mgcosθ                 
電路中電流　I=

E

R

=

BLvm

R

             
解得　　B=

mgR(sinθ-μcosθ) L2vm

  
（2）當(dāng)桿的速度為

1

3

vm時(shí)，由牛頓第二定律：mgsinθ-BIL-μN(yùn)=ma  
此時(shí)電路中電流：I′=

E′

R

=

BLvm

3R

　         
解得　a=

2

3

gsinθ-

2

3

μgcosθ   
（3）設(shè)金屬桿從靜止開始至達(dá)到最大速度的過(guò)程中下降的高度為h，由能量守恒：mgh=

1

2

m

v

2 m

+Q+μmgcosθ?s　
又　　    h=s?sinθ                       
解得　　 h=

m v 2 m +2Q

2mg(1-μcotθ)

答：（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B=

mgR(sinθ-μcosθ) L2vm

；
（2）當(dāng)速度達(dá)到

1

3

v_m時(shí)，求此時(shí)桿的加速度大小a=

2

3

gsinθ-

2

3

μgcosθ；
（3）金屬桿下降的高度h=

m v 2 m +2Q

2mg(1-μcotθ)

．

點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是會(huì)推導(dǎo)安培力的表達(dá)式，根據(jù)平衡條件、牛頓第二定律和能量守恒研究電磁感應(yīng)現(xiàn)象，常規(guī)題．