Question

3．一足夠長(zhǎng)的粗細(xì)均勻的桿被一細(xì)繩吊于高處，桿下端離地面高H，上端套一個(gè)細(xì)環(huán)，如圖所示．?dāng)嚅_輕繩，桿和環(huán)自由下落，假設(shè)桿與地面發(fā)生碰撞時(shí)觸地時(shí)間極短，無(wú)動(dòng)能損失，桿立即獲得等大反向的速度．已知桿和環(huán)的質(zhì)量均為m，相互間最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力kmg（重力加速度為g，
k＞1）．桿在整個(gè)過(guò)程中始終保持豎直，空氣阻力不計(jì)．求：
（1）桿第一次與地面碰撞彈起上升的過(guò)程中，環(huán)的加速度
（2）桿與地面第二次碰撞前的瞬時(shí)速度
（3）從斷開輕繩到桿和環(huán)靜止，摩擦力對(duì)環(huán)和桿做的總功．

Answer 1

分析 （1）在桿上升的過(guò)程中，環(huán)要受到重力的作用，同時(shí)由于環(huán)向下運(yùn)動(dòng)而棒向上運(yùn)動(dòng)，環(huán)還要受到桿的向上的摩擦力的作用，根據(jù)牛頓第二定律列式可以求得加速度的大�。�
（2）根據(jù)動(dòng)能定理求出桿第一次落地的速度大小，然后根據(jù)頓第二定律求出桿彈起后的加速度，最后根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可以求得桿與地面第二次碰撞前的瞬時(shí)速度；
（3）整個(gè)過(guò)程中能量的損失都是由于摩擦力對(duì)物體做的功，所以根據(jù)能量的守恒可以較簡(jiǎn)單的求得摩擦力對(duì)環(huán)和桿做的總功．

解答 解：（1）設(shè)桿第一次上升的過(guò)程中環(huán)的加速度為a，
根據(jù)牛頓第二定律可得，kmg-mg=ma，
解得：a=（k-1）g，方向豎直向上．
（2）桿第一次落地的速度大小為v₁，
由動(dòng)能定理得，2mgH=$\frac{1}{2}$2m${v}_{1}^{2}$-0，
解得：v₁=$\sqrt{2gH}$，
桿彈起后的加速度為a′，
根據(jù)牛頓第二定律可得，mg+kmg=ma′，
解得：a′=（k+1）g，方向豎直向下，
從落地經(jīng)時(shí)間t₁達(dá)到共同速度，
則有：v₁-at₁=-v₁+a′t₁，
解得：t₁=$\frac{2{v}_{1}}{a+{a}^{′}}$=$\frac{2{v}_{1}}{（k-1）g+（k+1）g}$=$\frac{{v}_{1}}{kg}$，
共同速度為：${v}_{1}^{′}$=v₁-at₁=v₁-（k-1）g×$\frac{{v}_{1}}{kg}$=$\frac{{v}_{1}}{k}$，
桿上升的高度：h₁=v₁t₁-$\frac{1}{2}$a′${t}_{1}^{2}$=$\frac{（k-1）H}{{k}^{2}}$，
所以桿第二次落地時(shí)的速度：
v₂=$\sqrt{v{′}_{1}^{2}+2g{h}_{1}}$=$\sqrt{\frac{2gH}{k}}$，方向豎直向下．
（3）經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間桿和環(huán)最終靜止，
設(shè)這一過(guò)程中它們相對(duì)滑動(dòng)的總路程為l，
由能量的轉(zhuǎn)化和守恒定律有：
mgH+mg（H+l）=kmgl，
解得：l=$\frac{2H}{k-1}$，
則摩擦力對(duì)環(huán)和棒做的總功：
W=-kmgl=-$\frac{2kmgH}{k-1}$．
答：（1）環(huán)的加速度為（k-1）g，方向豎直向上；
（2）桿與地面第二次碰撞前的瞬時(shí)速度為$\sqrt{\frac{2gH}{k}}$，方向豎直向下；
（3）從斷開輕繩到桿和環(huán)靜止，摩擦力對(duì)環(huán)和桿做的總功為-$\frac{2kmgH}{k-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查功能關(guān)系以及牛頓第二定律的綜合應(yīng)用，屬于力學(xué)綜合問(wèn)題，注意：求摩擦力總功應(yīng)用能量的守恒來(lái)解決本題可以很簡(jiǎn)單的求出結(jié)果，
這樣既能夠簡(jiǎn)化解題的過(guò)程還可以節(jié)約寶貴的時(shí)間，所以在平時(shí)一定要考慮如何解題能夠簡(jiǎn)單快捷．