Question

2．我國航天人為實(shí)現(xiàn)中華民族多年的奔月夢想，正在向著“繞、落、回”的第三步進(jìn)軍，未來將有中國的航天員登上月球．設(shè)想航天員在月球上做自由落體實(shí)驗(yàn)，將某物體從距月球表面高h(yuǎn)處由靜止釋放，經(jīng)時(shí)間t后落到月球表面，已知月球是半徑為R的均勻球體，引力常量為G，不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響．求：
（1）月球表面的重力加速度g_月；   
（2）月球的質(zhì)量M；   
（3）繞月探測器在月球表面附近繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速率．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自由落體的位移時(shí)間規(guī)律可以直接求出月球表面的重力加速度；　
（2）根據(jù)月球表面重力和萬有引力相等，利用求出的重力加速度和月球半徑可以求出月球的質(zhì)量M；　
（3）飛船近月飛行時(shí)，飛船所受月球萬有引力提供月球的向心力，從而求出近月飛行時(shí)飛船的速度v．

解答 解：（1）根據(jù)自由落體公式，有：$h=\frac{1}{2}{g_月}{t^2}$
所以：${g_月}=\frac{2h}{t^2}$
（2）月球表面重力等于萬有引力：$m{g_月}=\frac{GMm}{R^2}$
所以：$M=\frac{{{g_月}{R^2}}}{G}=\frac{{2h{R^2}}}{{G{t^2}}}$
（3）根據(jù)重力提供向心力，有：$m{g_月}=\frac{{m{v^2}}}{R}$
所以繞月飛行的速率為：$v=\sqrt{{g_月}R}=\frac{{\sqrt{2hR}}}{t}$．
答：（1）月球表面的重力加速度$\frac{2h}{{t}_{\;}^{2}}$；   
（2）月球的質(zhì)量M為$\frac{2h{R}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}$；   
（3）繞月探測器在月球表面附近繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速率$\frac{\sqrt{2hR}}{t}$

點(diǎn)評(píng) 結(jié)合自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律求月球表面的重力加速度，根據(jù)萬有引力與重力相等和萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力求解中心天體質(zhì)量和近月飛行的速度v．