Question

2．如圖所示，AB為豎直平面內的光滑的$\frac{1}{4}$圓軌道，半徑R=0.2m，其底端B與水平傳送帶相切，傳送帶長L=5m，始終以v=4m/s的速度順時針轉動．現(xiàn)有一個質量m=1kg的物塊P從A點由靜止滑下，到達C點后拋進水平地面上D點處的筐內，物塊與傳送帶間的動摩擦因數μ=0.2，g取10m/s²．
（1）求物塊運動到B點時對軌道的壓力大��；
（2）求物塊由A點運動到C點的過程中，摩擦力對物塊所做的功；
（3）為了使物塊每次由A點運動到C點時均拋進筐內，求R的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據機械能守恒定律求出物塊P滑到B點時的速度，在B點，由牛頓第二定律和向心力公式列式，求出軌道對物塊P的支持力，由牛頓第三定律得到物塊P對軌道的壓力；
（2）根據牛頓第二定律求出物塊在傳送帶上加速運動時的加速度，進而求出加速到與傳送帶達到同速物塊P通過的位移，判斷物塊的運動情況，再由動能定理求摩擦力對物塊所做的功；
（3）物塊離開C點后做平拋運動，只要物塊離開傳送帶的速度不變，物塊每次由A點運動到C點時均能拋進筐內，分析物塊在傳送帶上的運動情況，再由機械能守恒定律求R的取值范圍．

解答 解：（1）設物塊P滑到B點時的速度ν₁，根據機械能守恒定律得：
mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
得：v₁=$\sqrt{2gR}$=2m/s
設物塊在軌道末端所受支持力的大小為N，根據牛頓第二定律得：N-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
聯(lián)立以上兩式代入數據得：N=3mg=30N
根據牛頓第三定律，知物塊P對軌道壓力大小為30N，方向豎直向下
（2）物塊在傳送帶上先做勻加速運動時，由μmg=ma得：a=μg=2m/s²
加速到與傳送帶達到同速所需要的時間：t₁=$\frac{v-{v}_{1}}{a}$=$\frac{4-2}{2}$=1s
位移為：s₁=$\frac{{v}_{1}+v}{2}$t₁=$\frac{2+6}{2}$×1=3m＜L
此后物塊P與傳送帶一起做勻速運動，不再受摩擦力，則根據動能定理得：摩擦力對物塊所做的功為：W_f=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$=6J
（3）由上分析知，物塊離開傳送帶時的速度等于傳送帶的速度，所以只要物塊離開傳送帶的速度為4m/s，物塊每次由A點運動到C點時均能拋進筐內．
當物塊剛滑上傳送帶速度等于v=4m/s，由機械能守恒定律得：mgR₁=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，得：R₁=0.8m
所以當R滿足：0＜R≤0.8m時，物塊每次由A點運動到C點時均拋進筐內．
當物塊滑上傳送帶一直做勻減速運動，物塊離開傳送帶時的速度等于傳送帶的速度時，設剛滑上傳送帶的速度為v′，對整個過程，根據動能定理得：
mgR-μmgL=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：R=1.8m
所以當R滿足：0.8m≤R≤1.8m時，物塊每次由A點運動到C點時均拋進筐內．
綜上，當R滿足：0≤R≤1.8m時，物塊每次由A點運動到C點時均拋進筐內．
答：（1）物塊運動到B點時對軌道的壓力大小是30N；
（2）物塊由A點運動到C點的過程中，摩擦力對物塊所做的功是6J；
（3）為了使物塊每次由A點運動到C點時均拋進筐內，R的取值范圍為0≤R≤1.8m．

點評 解決本題的關鍵要理清物塊的運動情況，由牛頓第二定律和運動學公式結合分析物塊的運動規(guī)律．要掌握平拋運動的規(guī)律，知道水平位移由初速度和高度共同決定．