Question

如圖所示，間距為L的光滑M、N金屬軌道水平放置，ab是電阻為R₀的金屬棒，此棒可緊貼平行導軌滑動．導軌右側(cè)連接一水平放置的平行板電容器，板間距為d，板長也為L，導軌左側(cè)接阻值為R的定值電阻，其它電阻忽略不計．軌道處的磁場方向垂直軌道平面向下，電容器處的磁場垂直紙面向里，磁感應(yīng)強度均為B．當ab以速度v₀向右勻速運動時，一帶電量大小為q的粒子以某一速度從緊貼A板左側(cè)平行于A板進入電容器內(nèi)，恰好做勻速圓周運動，并從C板右側(cè)邊緣離開．試求：
（1）AC兩板間的電壓U；
（2）帶電粒子的質(zhì)量m；
（3）帶電粒子的速度大小v．

Answer 1

分析：（1）棒ab向右運動時滑動時切割磁感線，產(chǎn)生感應(yīng)電動勢為E=BLv₀，相當于電源，AC間的電壓等于電阻R兩端的電壓，由串聯(lián)電路分壓規(guī)律求解．
（2）帶電粒子在AC間中做勻速圓周運動，重力與電場力平衡，列式求解質(zhì)量m．
（3）粒子做勻速圓周運動，畫出軌跡，由幾何關(guān)系求出軌跡半徑，根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式求解粒子的速度大小v．

解答：解：（1）棒ab向右運動時產(chǎn)生的電動勢為：E=BLv₀
AC間的電壓即為電阻R的分壓，由分壓關(guān)系可得：
U=

RE

R+R0

（或：I=

E

R+R0

，U=IR）
解得：U=

RBLv0

R+R0

（2）帶電粒子在AC板間電磁場中做勻速圓周運動，則重力與電場力平衡，則有：
  q

U

d

=mg
解得：m=

RqBLv0

(R+R0)gd

（3）粒子由牛頓第二定律可得：qvB=m

v2

r

粒子運動軌跡如圖所示，由幾何關(guān)系可得：
 L ²+（r-d）²=r²
解得：v=

(R+R0)(L2+d2)g

2RLv0

答：（1）AC兩板間的電壓U為

RBLv0

R+R0

；
（2）帶電粒子的質(zhì)量m為

RqBLv0

(R+R0)gd

；
（3）帶電粒子的速度大小v為

(R+R0)(L2+d2)g

2RLv0

．

點評：本題是電磁感應(yīng)與帶電粒子在復合場中運動的綜合，關(guān)鍵要抓住它們之間的聯(lián)系：AC間的電壓等于電阻R兩端的電壓．對于帶電粒子在復合場中做勻速圓周運動時，要抓住：重力與電場力平衡，洛倫茲力提供向心力，這是這種問題的解題關(guān)鍵．