Question

3．如圖所示，一足夠長(zhǎng)的斜面傾斜角度為45°，現(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量為0.4kg，帶電荷量q=+1.0×10^-5C的小球以初速度v₀=5m/s從斜面上A點(diǎn)豎直向上拋出．已知斜面所在的整個(gè)空間存在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E=3×10⁵N/C，重力加速度g=10m/s²．試求：
（ 1 ）小球在空中運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度的最小值v_min；
（ 2 ）小球相對(duì)A所在水平面上升的最大高度H和小球再次落到與A在同一水平面的B點(diǎn)（圖上未標(biāo)出）時(shí)，小球距離A點(diǎn)的距離L_AB；
（ 3 ）小球再次落到斜面上時(shí)，速度方向與水平向右電場(chǎng)方向夾角的正切值．
（ 4）小球在空中運(yùn)動(dòng)過(guò)程中距離斜面最遠(yuǎn)的距離d．

Answer 1

分析 （1）依據(jù)矢量的合成法則，結(jié)合三角知識(shí)，即可求解；
（2）小球在豎直方向做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，在水平方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用勻變速直線運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出上升的最大高度與兩點(diǎn)間的水平距離．
（3）小球向下運(yùn)動(dòng)過(guò)程在豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，在水平方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律分析答題；
（4）依據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，及當(dāng)垂直斜面方向（即y方向）速度為0時(shí)，物體距離斜面距離最遠(yuǎn)，即可求解．

解答 解：（1）將速度沿著合力方向與垂直合力方向進(jìn)行分解，當(dāng)沿著合力方向的速度為0時(shí)，合速度最小，為：
v_min=v₀cos53°=3m/s
（2）小球在水平方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向做豎直上拋運(yùn)動(dòng)．分析可知：
H=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$=1.25m
由于豎直方向上升過(guò)程與下落過(guò)程具有對(duì)稱性有：
t_上=$\frac{{v}_{0}}{g}$=0.5s
t_AB=2t_上=1s
L_AB=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t${\;}_{AB}^{2}$=3.75m
（3）小球在豎直方向上做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，沿電場(chǎng)線方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，落在斜面上，則有：
tan45°=$\frac{y}{x}$=$\frac{{v}_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^{2}}{\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{t}^{2}}$，
速度方向與電場(chǎng)方向夾角的正切值：tanθ=$\frac{{v}_{0}-gt}{\frac{qE}{m}t}$，
解得：t=4s，tanθ=$\frac{7}{6}$；
（4）將小球的速度和合力沿著斜面與垂直斜面分解，
則可知：
v_x0=v₀cos45°=$\frac{5\sqrt{2}}{2}m/s$
v_y0=v₀sin45°=$\frac{5\sqrt{2}}{2}m/s$
a_x=$\frac{{F}_{合}cos（53°-45°）}{m}$=$\frac{35\sqrt{2}}{4}$m/s² ；
a_y=$\frac{{F}_{合}sin（53°-45°）}{m}$=$\frac{5\sqrt{2}}{4}m/{s}^{2}$
當(dāng)垂直斜面方向（即y方向）速度為0時(shí)，物體距離斜面距離最遠(yuǎn)；則有：
t₀=$\frac{{v}_{y0}}{{a}_{y}}=2s$
d_max=$\frac{{v}_{y0}^{2}}{2{a}_{y}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}m$
答：（ 1 ）小球在空中運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度的最小值3m/s；
（ 2 ）小球相對(duì)A所在水平面上升的最大高度H和小球再次落到與A在同一水平面的B點(diǎn)（圖上未標(biāo)出）時(shí)，小球距離A點(diǎn)的距離3.75m；
（ 3 ）小球再次落到斜面上時(shí)，速度方向與水平向右電場(chǎng)方向夾角的正切值$\frac{7}{6}$．
（ 4）小球在空中運(yùn)動(dòng)過(guò)程中距離斜面最遠(yuǎn)的距離$\frac{5\sqrt{2}}{2}m$．

點(diǎn)評(píng) 小球在豎直方向做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，在水平方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，分析清楚小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程、應(yīng)用運(yùn)動(dòng)合成與分解方法是解題的關(guān)鍵，應(yīng)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可以解題．