Question

10．如圖所示，在xoy直角坐標(biāo)平面內(nèi)-$\frac{\sqrt{3}}{20}$m≤x＜0的區(qū)域有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.32T，0≤x＜2.56m的區(qū)域有沿-x方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)．在x軸上坐標(biāo)為（-$\frac{\sqrt{3}}{20}$m，0）的S點(diǎn)有一粒子源，它一次能沿紙面同時(shí)向磁場(chǎng)內(nèi)每個(gè)方向各發(fā)射一個(gè)比荷$\frac{q}{m}$=5.0×10⁷C/kg；速率v=1.6×10⁶m/s的帶正電粒子．若粒子源只發(fā)射一次，其中只有一個(gè)粒子Z剛好能到達(dá)電場(chǎng)的右邊界，不計(jì)粒子的重力和粒子間的相互作用．求：
（1）帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r及周期T；
（2）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E及Z粒子從S點(diǎn)發(fā)射時(shí)的速度方向與磁場(chǎng)左邊界的夾角θ；
（3）Z粒子第一次剛進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)，還未離開(kāi)過(guò)磁場(chǎng)的粒子占粒子總數(shù)的比例η．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛侖茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式分析軌道半徑和周期；
（2）由題意可知，粒子在垂直于電場(chǎng)的方向上進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)，在電場(chǎng)的方向上運(yùn)動(dòng)的距離最大，然后結(jié)合動(dòng)能定理即可求出；
（3）Z粒子第一次剛進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)，由洛倫茲力提供向心力得出半徑，然后畫出運(yùn)動(dòng)的軌跡，結(jié)合運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度的關(guān)系，即可得出與Z粒子同時(shí)進(jìn)入電場(chǎng)的另一處位置，然后區(qū)分電場(chǎng)內(nèi)的粒子的范圍與磁場(chǎng)內(nèi)的粒子的范圍，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由洛侖磁力提供向心力得：
qvB=$m\frac{{v}^{2}}{r}$，解得  r=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{{1.6×1{0^6}}}{{5.0×1{0^7}×0.32}}$=0.1m；
T=$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{2π}{{5.0×1{0^7}×0.32}}$=1.25$\frac{2π}{×}$10^-7π s；
（2）由題意可知Z粒子是垂直電場(chǎng)左邊界進(jìn)入電場(chǎng)的，作出Z粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖（a）所示，O₁為軌跡圓圓心．分別用d_B和d_E表示電場(chǎng)和磁場(chǎng)區(qū)域的寬度．      

對(duì)Z粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理有：qEd_E=$\frac{1}{2}$mv²①
代入數(shù)據(jù)解得：E=1.0×10⁴N/C；
Z粒子在磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)軌跡圓半徑為r，
由圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$ ②
由幾何知識(shí)可知：在△SOO₁中滿足：cosθ=$\frac{OS}{{{O_1}S}}=\frac{dB}{r}$，
由②③并代入數(shù)據(jù)可得：θ=$\frac{π}{6}$；
（3）作Z粒子在磁場(chǎng)中圓弧軌跡對(duì)應(yīng)的弦SN如圖（b）所示，由幾何知識(shí)得：△SNO₁為等邊三角形，SN=r，弦切角θ₀=θ ④
由題意可知：在磁場(chǎng)中圓弧軌跡對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)大于r的粒子，滿足Z粒子第一次剛要進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)未離開(kāi)過(guò)磁場(chǎng)．          
作出另兩個(gè)圓弧軌跡對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)等于SN的粒子軌跡，交磁場(chǎng)左右邊界分別為M、O₁，粒子在S點(diǎn)的速度分別為v₁和v₂．
由圖可知發(fā)射方向在v₁和v₂之間的粒子軌跡弦長(zhǎng)大于r，
對(duì)應(yīng)的發(fā)射方向分布的角度范圍為：θ₁=2π-θ₀⑤
由圖可知Z粒子的發(fā)射速度與磁場(chǎng)左邊界所夾角度范圍內(nèi)發(fā)射的粒子軌跡弦長(zhǎng)也大于r；
所以有：η=$\frac{π}{{{θ_1}+θ}}$⑥；
整理得：η=$\frac{1}{2}$；
答：（1）帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r為，周期T為；
（2）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E為，Z粒子從S點(diǎn)發(fā)射時(shí)的速度方向與磁場(chǎng)左邊界的夾角θ為$\frac{π}{6}$；
（3）Z粒子第一次剛進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)，還未離開(kāi)過(guò)磁場(chǎng)的粒子占粒子總數(shù)的比例η為$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 電荷在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵是畫出軌跡，由幾何知識(shí)求出半徑．定圓心角，求時(shí)間，類平拋運(yùn)動(dòng)應(yīng)用運(yùn)動(dòng)分解法求解．