Question

一列火車質(zhì)量1000t，由靜止開始以恒定的功率沿平直鐵軌運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)2min前進(jìn)2700m時(shí)恰好達(dá)到最大速度．設(shè)火車所受阻力恒為車重的0.05倍，求火車的最大速度和恒定的功率？取g=10m/s²．
解：設(shè)最大速度為v_m，火車的平均牽引力為

.

F

，由動(dòng)量定理和動(dòng)能定理得：
（

.

F

-f）t=mv_m         （1）
（

.

F

-f）s=

1

2

mv²        （2）
聯(lián)立（1）、（2）解得：v_m=

2s

t

=45m/s，P=fv_m=22.5KW
試指出以上求解過(guò)程是否正確．若正確，請(qǐng)給出理由；若有問(wèn)題，請(qǐng)給出正確的解答．

Answer 1

分析：火車從靜止開始做變加速運(yùn)動(dòng)，對(duì)時(shí)間的平均作用力和對(duì)位移的平均作用力是不同的．所以這種解法不正確．
正確解法是：從靜止開始到達(dá)到最大速度的過(guò)程中運(yùn)用動(dòng)能定理可以得到一個(gè)方程，再結(jié)合牽引力與阻力大小相等F=f、額定功率P_額=fv_m，即可求得最大速度；
火車的額定功率可以根據(jù)P_額=fv_m求得；

解答：解：以上求解過(guò)程混淆了兩類不同的平均作用力，對(duì)時(shí)間的平均作用力和對(duì)位移的平均作用力是不同的．
由于火車功率恒定，在達(dá)到最大速度之前作變加速運(yùn)動(dòng)．設(shè)最大速度為v_m，功率為p，由動(dòng)能定理得：
  pt-fs=

1

2

m

v

2 m

  ①
達(dá)到最大速度時(shí)，牽引力F=f，所以
  P=fv_m       ②
聯(lián)立①、②得：

1

2

m

v

2 m

-ftvm+fs=0 ③
代入數(shù)據(jù)解之得：
v_m1=30m/s，P₁=1.5×10⁴KW．
v_m2=90m/s，P₂=4.5×10⁴KW．
不妨設(shè)火車做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則平均速度為

.

v1

=15m/s，s1=

.

v1

?t=1800m＜2700m，符合火車以額定功率啟動(dòng)過(guò)程．此解合理．

.

v2

=45m/s，s2=

.

v2

?t=5400m＞2700m，不符合火車以額定功率啟動(dòng)過(guò)程．此解不合理，舍去．
故最后的結(jié)論是 v_m1=30m/s，P₁=15KW
答：不正確；理由見上．

點(diǎn)評(píng)：該題為機(jī)車啟動(dòng)問(wèn)題，注意當(dāng)牽引力等于阻力時(shí)速度達(dá)到最大值，該題難度適中．