Question

14．容器A中裝有大量的質(zhì)量、電量不同但均帶正電的粒子，粒子從容器下方的小孔S_l不斷飄人加速電場(chǎng)（初速度可視為零）做直線運(yùn)動(dòng)通過(guò)小孔S₂后，從兩平行板中央垂直電場(chǎng)方向射人偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)．粒子通過(guò)平行板后垂直磁場(chǎng)方向進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，最后打在感光片上，如圖所示．已知加速場(chǎng)S₁、S₂間的加速電壓為u，偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)極板長(zhǎng)為L(zhǎng)，兩板間距也為L(zhǎng)，板間勻強(qiáng)電場(chǎng)強(qiáng)度E=$\frac{2U}{L}$．方向水平向左（忽略板間外的電場(chǎng)），平行板f的下端與磁場(chǎng)邊界ab相交為p，在邊界pb上固定放置感光片．測(cè)得從容器A中逸出的所有粒子均打在感光片P、Q之間，且Q距P的長(zhǎng)度為3L，不考慮粒子所受重力與粒子間的相互作用，求：
（1）粒子射入磁場(chǎng)時(shí)，其速度方向與邊界ab間的夾角；
（2）射到感光片Q處的粒子的比荷（電荷量與質(zhì)量之比）；
（3）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）粒子先經(jīng)過(guò)加速電場(chǎng)的加速后進(jìn)入水平勻強(qiáng)電場(chǎng)做類平拋運(yùn)動(dòng)，由速度的方向公式直接能求出末速度方向，這是為后續(xù)計(jì)算做一個(gè)鋪墊．
（2）粒子從e板下端與水平方向成45⁰的角射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，偏轉(zhuǎn)270°后打在Q點(diǎn)，由幾何關(guān)系求出粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，再由洛侖茲力提供向心力就能求出粒子的比荷．
（3）先判斷出打在何處的粒子的時(shí)間最短，由于$t=\frac{θ}{2π}T=\frac{θ}{2π}×\frac{2πm}{qB}=\frac{θm}{qB}$，即電量最大的粒子時(shí)間最短，再由半徑公式$r=\frac{mv}{qB}$知電量最大則半徑最小，所以打在P點(diǎn)的粒子時(shí)間最短．

解答 解：（1）設(shè)質(zhì)量為m，電量為q的粒子通過(guò)孔S₂的速度為v₀    由動(dòng)能定理：
   $qU=\frac{1}{2}m{v_o}^2$
  粒子在平行板間：L=v_ot
  ${v_x}=\frac{qE}{m}t$
  $tanθ=\frac{v_o}{v_x}$
  聯(lián)解以上四式得：tanθ=1     $θ=\frac{π}{4}$
  其速度方向與邊界ad間的夾角$θ=\frac{π}{4}$
（2）粒子從e板下端與水平方向成45⁰的角射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)．設(shè)質(zhì)量為m．電量為q的粒子射入
   磁場(chǎng)時(shí)的速度為v，做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r  由速度合成知：
   $v=\sqrt{{v_o}^2+{v_x}^2}=\sqrt{2}{v_o}=\sqrt{\frac{4qU}{m}}$
  粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后偏轉(zhuǎn)270°，由幾何關(guān)系可知：r²+r²=（4L）²    所以有：$r=2\sqrt{2}L$
 又因?yàn)?nbsp; $r=\frac{mv}{qB}$
  聯(lián)解以上三式得：$\frac{q}{m}=\frac{U}{{2{L^2}{B^2}}}$
  粒子的比荷為：$\frac{U}{{2{L^2}{B^2}}}$
（3）設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t   則：$t=\frac{θm}{qB}$
   $r=\frac{mv}{qB}=\frac{2}{B}\sqrt{\frac{mU}{q}}$
   聯(lián)解以上兩式得：$t=\frac{{θB{r^2}}}{4U}$
  因?yàn)樗�有粒子在磁�?chǎng)中運(yùn)動(dòng)的偏轉(zhuǎn)角$θ=\frac{3}{2}π$，所以粒子打在P處時(shí)間最短
  由幾何知：r²+r²=L²     而 $r=\frac{{\sqrt{2}}}{2}L$
  聯(lián)解以上四式得$t=\frac{{\frac{3}{2}πB×\frac{L^2}{2}}}{4U}=\frac{{3πB{L^2}}}{16U}$
  粒子在磁場(chǎng)中的最短時(shí)間$\frac{{3πB{L^2}}}{16U}$
答：（1）粒子射入磁場(chǎng)時(shí)，其速度方向與邊界ab間的夾角為$\frac{π}{4}$．
（2）射到感光片Q處的粒子的比荷為$\frac{U}{{2{L^2}{B^2}}}$．
（3）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間為$\frac{{3πB{L^2}}}{16U}$．

點(diǎn)評(píng) 本題有幾個(gè)巧妙的地方：①加速電壓與偏轉(zhuǎn)電壓有一定的關(guān)系，導(dǎo)致進(jìn)入磁場(chǎng)的速度方向是一個(gè)定值即45°．②由于粒子的質(zhì)量而電量不同，所以從加速電場(chǎng)出來(lái)的速度不同，則進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)后再進(jìn)入磁場(chǎng)的位置不同，從而能區(qū)分質(zhì)量相同而電量不同的粒子．