Question

5．如圖所示，用長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)線將質(zhì)量為m的小球懸掛于O點(diǎn)．小球在外力作用下靜止在A處，此時(shí)細(xì)線偏離豎直方向的夾角θ=60°．現(xiàn)撤去外力，小球由靜止釋放，擺到最低點(diǎn)B時(shí)，細(xì)線被O點(diǎn)正下方距離$\frac{L}{4}$處的光滑小釘子擋住，小球繼續(xù)向左擺動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)細(xì)線偏離豎直方向的夾角也為60°．小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所受空氣阻力大小恒定，且始終與運(yùn)動(dòng)方向相反，重力加速度為g．求：
（1）小球在A處處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，所受外力的最小值F₁；
（2）小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所受的空氣阻力大小f和動(dòng)能最大時(shí)細(xì)線偏離豎直方向夾角的正弦值sinα．
（3）小球第二次經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)B，開(kāi)始繞O點(diǎn)向右擺動(dòng)時(shí)，細(xì)線的拉力大小T．

Answer 1

分析 （1）小球在A處于靜止?fàn)顟B(tài)，受共點(diǎn)力平衡，當(dāng)F₁與細(xì)線垂直時(shí)最小，根據(jù)平衡條件求解外力的最小值；
（2）從A到C過(guò)程應(yīng)由動(dòng)能定理可以求出空氣阻力，當(dāng)重力沿圓弧切線方向的分力與空氣阻相等時(shí)小球速度最大，動(dòng)能最大，據(jù)此求出夾角的正弦值．
（3）應(yīng)由動(dòng)能定理求出小球第二次經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)B時(shí)的速度，然后應(yīng)用牛頓第二定律求出細(xì)線的拉力．

解答 解：（1）小球在A處于靜止，受力平衡，當(dāng)F₁與細(xì)線垂直時(shí)最小，拉力的最小值：F₁=mgsinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$mg；
（2）小球從A運(yùn)動(dòng)到C過(guò)程，由動(dòng)能定理得：
mg[L（1-cosθ）-$\frac{3}{4}$L（1-cosθ）]-f×$\frac{1}{3}$π（L+$\frac{3}{4}$L）=0-0，解得：f=$\frac{3mg}{14π}$；
小球速度最大時(shí)有：mgsinα=f，解得：sinα=$\frac{3}{14π}$；
（3）設(shè)此時(shí)小球的速度為v，由動(dòng)能定理得：
mg×$\frac{3}{4}$L（1-cosθ）-f×$\frac{1}{3}$π×$\frac{3}{4}$L=$\frac{1}{2}$mv²-0，
在最低點(diǎn)，由牛頓第二定律得：T-mg=m$\frac{{v}^{2}}{L}$，解得：T=$\frac{23}{14}$mg；
答：（1）小球在A處處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，所受外力的最小值F₁為$\frac{\sqrt{3}}{2}$mg；
（2）小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所受的空氣阻力大小f為$\frac{3mg}{14π}$，動(dòng)能最大時(shí)細(xì)線偏離豎直方向夾角的正弦值sinα為$\frac{3}{14π}$．
（3）小球第二次經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)B，開(kāi)始繞O點(diǎn)向右擺動(dòng)時(shí)，細(xì)線的拉力大小T為$\frac{23}{14}$mg．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了共點(diǎn)力平衡條件以及動(dòng)能定理的直接應(yīng)用，要求同學(xué)們能正確分析小球的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，注意求變力做功時(shí)，只能使用動(dòng)能定理．