Question

【題目】輕質彈簧原長為2L，將彈簧豎直放置在地面上，在其頂端將一質量為5m的物體由靜止釋放，當彈簧被壓縮到最短時，彈簧長度為L。現將該彈簧水平放置，一端固定在A點，另一端與物塊P接觸但不連接。AB是長度為5L的水平軌道，B端與半徑為L的光滑半圓軌道BCD相切，半圓的直徑BD豎直，如圖所示。物塊P與AB間的動摩擦因數μ=0.5。用外力推動物塊P，將彈簧壓縮至長度L，然后放開，P開始沿軌道運動，重力加速度大小為g。

（1）求彈簧壓縮L時所存儲的彈性勢能Ep；

（2）若P的質量為m，求P到達B點時速度的大�。�

（3）它離開圓軌道后落回到AB上的位置與B點之間的距離；

（4）若P能滑上圓軌道，且仍能沿圓軌道滑下，求P的質量的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）

【解析】

（1）依題意，當彈簧豎直放置，長度被壓縮至L時，質量為5m的物體的動能為零，其重力勢能轉化為彈簧的彈性勢能，由機械能守恒定律，彈簧長度為L時的彈性勢能為：

（2）設P到達B點時的速度大小為，由能量守恒定律得：

聯(lián)立得：

（3）若P能沿圓軌道運動到D點，其到達D點時的向心力不能小于重力，即P此時的速度大小應滿足：

即：

設P滑到D點時的速度為，由機械能守恒定律得：

聯(lián)立得：

則滿足的要求，故P能運動到D點，并從D點以速度水平射出，設P落回到軌道AB所需的時間為，由運動學公式得：

P落回到AB上的位置與B點之間的距離為：

聯(lián)立得到：

（4）設P的質量為M，若P剛好過B點，有：

解得：

要使P仍能沿圓軌道滑回，P在圓軌道上的上升高度不能超過半圓軌道的中點C，P最多到C而不脫軌，則有：

解得：

所以滿足條件的P的質量的取值范圍為：