Question

【題目】如圖，在豎直平面內(nèi)由 圓弧AB和 圓弧BC組成的光滑固定軌道，兩者在最低點(diǎn)B平滑連接。AB弧的半徑為R，BC弧的半徑為 。一小球在A點(diǎn)正上方與A相距 處由靜止開始自由下落，經(jīng)A點(diǎn)沿圓弧軌道運(yùn)動(dòng)。

（1）求小球在B、A兩點(diǎn)的動(dòng)能之比；
（2）通過計(jì)算判斷小球能否沿軌道運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)。

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)小球的質(zhì)量為m，小球在A點(diǎn)的動(dòng)能為 ，由機(jī)械能守恒可得 ①

設(shè)小球在B點(diǎn)的動(dòng)能為 ，同理有 ②

由①②聯(lián)立可得 ③

答：小球在B、A兩點(diǎn)的動(dòng)能之比為

（2）

解：若小球能沿軌道運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，小球在C點(diǎn)所受軌道的正壓力N應(yīng)滿足 ④

設(shè)小球在C點(diǎn)的速度大小為 ，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和向心加速度公式有 ⑤

聯(lián)立④⑤可得 ⑥

根據(jù)機(jī)械能守恒可得 ⑦

根據(jù)⑥⑦可知，小球恰好可以沿軌道運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)

答：小球恰好可以沿軌道運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)

【解析】（1）根據(jù)機(jī)械能守恒定律分別求出小球經(jīng)過B點(diǎn)和A點(diǎn)的動(dòng)能，再得到它們的比值．（2）假設(shè)小球能到達(dá)C點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律求出小球到達(dá)C點(diǎn)的速度，與臨界速度比較，即可判斷小球能否到C點(diǎn)．
【考點(diǎn)精析】掌握機(jī)械能守恒及其條件和機(jī)械能綜合應(yīng)用是解答本題的根本，需要知道在只有重力（和彈簧彈力）做功的情形下，物體動(dòng)能和重力勢(shì)能（及彈性勢(shì)能）發(fā)生相互轉(zhuǎn)化，但機(jī)械能的總量保持不變；系統(tǒng)初態(tài)的總機(jī)械能E 1 等于末態(tài)的總機(jī)械能E 2 ，即E1 =E2；系統(tǒng)減少的總重力勢(shì)能ΔE P減 等于系統(tǒng)增加的總動(dòng)能ΔE K增 ，即ΔE P減 =ΔE K增；若系統(tǒng)只有A、