Question

5．如圖所示，兩根足夠長(zhǎng)且平行的光滑金屬導(dǎo)軌與水平面成53°固定放置，導(dǎo)軌間連接一阻值為4Ω的電阻R，導(dǎo)軌電阻忽略不計(jì)．在兩平行虛線(xiàn)L₁、L₂間有一與導(dǎo)軌所在平面垂直、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)區(qū)域的寬度為d=0.5m．導(dǎo)體棒a的質(zhì)量為m_a=0.6kg，電阻R_a=4Ω；導(dǎo)體棒b的質(zhì)量為m_b=0.2kg，電阻R_b=12Ω；它們分別垂直導(dǎo)軌放置并始終與導(dǎo)軌接觸良好．現(xiàn)從圖中的M、N處同時(shí)將它們由靜止開(kāi)始釋放，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中它們都能勻速穿過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域，當(dāng)b剛穿出磁場(chǎng)時(shí)，a正好進(jìn)入磁場(chǎng)（g取10m/s²，sin53°=0.8，且不計(jì)a、b之間電流的相互作用）．求：
（1）在整個(gè)過(guò)程中，a、b兩導(dǎo)體棒分別克服安培力做的功；
（2）在a穿越磁場(chǎng)的過(guò)程中，a、b兩導(dǎo)體棒上產(chǎn)生的焦耳熱之比；
（3）在穿越磁場(chǎng)的過(guò)程中，a、b兩導(dǎo)體棒勻速運(yùn)動(dòng)的速度大小之比；
（4）M點(diǎn)和N點(diǎn)之間的距離．

Answer 1

分析 兩個(gè)導(dǎo)體棒同時(shí)從光滑的斜導(dǎo)軌向下滑動(dòng)，又分別勻速穿過(guò)已知寬度的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，這也算是一個(gè)連接體問(wèn)題．
（1）由于兩導(dǎo)體在磁場(chǎng)中勻速穿過(guò)，由平衡條件可以求出安培力大小，再由功的公式求出兩導(dǎo)體棒克服安培力做的功．
（2）在a穿越磁場(chǎng)的過(guò)程中，a是電源，b與R是外電路，根據(jù)并聯(lián)電路規(guī)律可得總電流（a棒）與b棒的電流之比，再由焦耳定律求出兩導(dǎo)體棒上產(chǎn)生的焦耳熱之比國(guó)．
（3）由于a、b兩棒穿過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)均勻速，由各自的平衡條件、切割產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式、安培力公式等能夠求出a、b兩棒勻速運(yùn)動(dòng)的速度大小之比．這也同進(jìn)為下一步計(jì)算作一個(gè)鋪墊．
（4）因?yàn)橛幸粋�(gè)偶然條件，當(dāng)b離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)，a剛好進(jìn)入磁場(chǎng)，都是勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)．則a、b兩棒的速度有關(guān)系，再加上上一問(wèn)所求速度之比，這樣兩棒的速度值可以求出，在斜面上勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的位移大小能夠求出，位移之差就是M、N兩點(diǎn)的距離．

解答 解：（1）根據(jù)在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)受力平衡得：F_安a=m_agsin53°．
      a棒克服安培力做的功為：W_a=m_agdsin53°=2.4J
      同理：W_b=m_bgdsin53°=0.8J
（2）在a穿越磁場(chǎng)的過(guò)程中，a是電源，b與R是外電路，由并聯(lián)規(guī)律有：
       I_a=I_b+I_R       I_bR_b=I_RR       ${I}_=\frac{{I}_{R}}{3}$
      所以：$\frac{{I}_{a}}{{I}_}=4$．
      由焦耳定律得：$\frac{{Q}_{a}}{{Q}_}=\frac{{{I}_{a}}^{2}{R}_{a}t}{{{I}_}^{2}{R}_t}={4}^{2}×\frac{4}{12}=\frac{16}{3}$．
（3）設(shè)b在磁場(chǎng)中勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的速度為v_b，則有b中的電流${I}_=\frac{BL{v}_}{{R}_{總1}}$，電路的總電阻R_總1=14Ω
     根據(jù)受力平衡得：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_}{{R}_{總1}}=\\;{m}_gsin53°$m_bgsin53° 
     同理：a棒在磁場(chǎng)中勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)R_總2=7Ω   
     根據(jù)受力平衡得：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{a}}{{R}_{總2}}={m}_{a}gsin53°$．
      可得：$\frac{{v}_{a}}{{v}_}=\frac{3}{2}$
（4）由題意得，當(dāng)b在磁場(chǎng)中勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)a繼續(xù)加速，
    對(duì)a棒有：v_a=v_b+gsin53°•t，
     對(duì)b棒：d=v_bt
    因?yàn)椋?{{v}_{a}}^{2}=2gsin53°•{S}_{a}$      ${{v}_}^{2}=2gsin53°•{S}_$
   可得M點(diǎn)、N點(diǎn)到時(shí)L₁的距離分別為：${S}_{a}=\frac{9}{8}m$，${S}_=\frac{1}{2}m$   
    所以：${S}_{MN}=\frac{5}{8}m$ 
答：（1）在整個(gè)過(guò)程中，a、b兩導(dǎo)體棒分別克服安培力做的功為2.4J 和0.8J．
（2）在a穿越磁場(chǎng)的過(guò)程中，a、b兩導(dǎo)體棒上產(chǎn)生的焦耳熱之比為$\frac{16}{3}$．
（3）在穿越磁場(chǎng)的過(guò)程中，a、b兩導(dǎo)體棒勻速運(yùn)動(dòng)的速度大小之比為$\frac{3}{2}$．
（4）M點(diǎn)和N點(diǎn)之間的距離為$\frac{5}{8}m$．

點(diǎn)評(píng) 畫(huà)龍點(diǎn)睛之筆在于最后兩問(wèn)，a、b兩棒的速度，綜合了平衡條件、安培力、切割產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)等公式；求M、N兩點(diǎn)間的距離，由于a、b的速度都是由于未進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)在斜面上加速獲得，當(dāng)b在磁場(chǎng)中勻速時(shí)，a在斜面上加速，對(duì)該過(guò)程列方程，能夠求出a、b的速度，從而a、b勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的位移能夠求出，兩者之差就是M、N兩點(diǎn)的距離．