Question

20．據(jù)報(bào)道，首次在太陽(yáng)系外發(fā)現(xiàn)“類地”行星Kepler-186f．若宇航員乘坐宇宙飛船到達(dá)該行星，進(jìn)行科學(xué)觀測(cè)：該行星自轉(zhuǎn)周期為T(mén)；宇航員在該行星“北極”距該行星地面附近h處自由釋放一個(gè)小球（引力視為恒力），落地時(shí)間為t，已知該行星半徑為R，萬(wàn)有引力常量為G，求：
（1）該行星的第一宇宙速度；
（2）該行星的平均密度；
（3）如果該行星存在一顆同步衛(wèi)星，其距行星表面高度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)的位移時(shí)間公式求出行星表面的重力加速度，結(jié)合重力提供向心力求出行星的第一宇宙速度；
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力求出行星的質(zhì)量，結(jié)合密度公式求出行星的平均密度；
（3）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，求出行星同步衛(wèi)星的軌道半徑，從而得出衛(wèi)星距離行星的高度．

解答 解：（1）根據(jù)h=$\frac{1}{2}$gt²得行星表面的重力加速度為：g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$，
根據(jù)mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$解得行星的第一宇宙速度為：v=$\frac{\sqrt{2hR}}{t}$；
（2）根據(jù)mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$得行星的質(zhì)量為：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，
則行星的平均密度為：ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3h}{2GπR{t}^{2}}$；
（3）萬(wàn)有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：
G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$ （R+h），
解得：h=$\root{3}{\frac{h{T}^{2}{R}^{2}}{2{π}^{2}{t}^{2}}}$-R；
答：（1）該行星的第一宇宙速度為$\frac{\sqrt{2hR}}{t}$；
（2）該行星的平均密度為$\frac{3h}{2GπR{t}^{2}}$；
（3）如果該行星存在一顆同步衛(wèi)星，其距行星表面高度為$\root{3}{\frac{h{T}^{2}{R}^{2}}{2{π}^{2}{t}^{2}}}$-R．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力定律的兩個(gè)重要理論：1、萬(wàn)有引力等于重力，2、萬(wàn)有引力提供向心力，并能靈活運(yùn)用．