Question

3．如圖甲所示，在直角坐標(biāo)系中的0≤x≤L區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，以點(diǎn)（3L，0）為圓心、半徑為L的圓形區(qū)域，與x軸的交點(diǎn)分別為M、N，在xOy平面內(nèi)，從電離室產(chǎn)生的質(zhì)量為m，帶電量為e的電子以幾乎為零的初速度飄入電勢差為U的加速電場中，加速后經(jīng)過右側(cè)極板上的小孔沿x軸正向由y軸上的P點(diǎn)進(jìn)入到磁場，飛出磁場后從M點(diǎn)進(jìn)入圓形區(qū)域，速度方向與x軸夾角為30°，此時(shí)在圓形區(qū)域加如圖乙所示的周期性變化的磁場，以垂直于紙面向外為磁場正方向，電子運(yùn)動一段時(shí)間后從N點(diǎn)飛出，速度方向與M點(diǎn)進(jìn)入磁場時(shí)的速度方向相同．求：

（1）電子剛進(jìn)入磁場區(qū)域時(shí)的y_P坐標(biāo)；
（2）0≤x≤L 區(qū)域內(nèi)勻強(qiáng)磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大�。�
（3）寫出圓形磁場區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀的大小、磁場變化周期T各應(yīng)滿足的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）粒子做勻速圓周運(yùn)動，依據(jù)幾何關(guān)系，即可求解；
（2）依據(jù)動能定理，結(jié)合幾何關(guān)系，即可求解．
（3）質(zhì)子在磁場中，洛倫茲力提供向心力，做勻速圓周運(yùn)動．分析質(zhì)子進(jìn)入磁場的速度方向與進(jìn)入磁場時(shí)的速度方向相同條件，根據(jù)圓的對稱性，由幾何知識得到半徑，周期T各應(yīng)滿足的表達(dá)式．

解答 解：（1）電子在矩形磁場區(qū)域做圓周運(yùn)動，出磁場后做直線運(yùn)動，其軌跡如圖所示
由幾何關(guān)系有：R=2L

${y_P}=（{2-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}）L$
因此剛進(jìn)入磁場區(qū)域時(shí)的y_P坐標(biāo)（0，（2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）L）；
（2）由動能定理：$eU=\frac{1}{2}mv_0^2$
可得：${v_0}=\sqrt{\frac{2eU}{m}}$
又$e{v_0}B=\frac{mv_0^2}{R}$
把幾何關(guān)系R=2L代入
解得 $B=\frac{{\sqrt{2meU}}}{2eL}$
（3）在磁場變化的半個(gè)周期內(nèi)粒子的偏轉(zhuǎn)角為60°，根據(jù)幾何知識，在磁場變化的半個(gè)周期內(nèi)，粒子在x軸方向上的位移恰好等于R．粒子到達(dá)N點(diǎn)而且速度符合要求的空間條件是：2nR=2L

電子在磁場作圓周運(yùn)動的軌道半徑$R=\frac{{m{v_0}}}{{e{B_0}}}$
解得  ${B_0}=\frac{{n\sqrt{2emU}}}{eL}$（n=1，2，3，…）
粒子在磁場變化的半個(gè)周期恰好轉(zhuǎn)過$\frac{1}{6}$圓周，同時(shí)MN間運(yùn)動時(shí)間是磁場變化周期的整數(shù)倍時(shí)，可使粒子到達(dá)N點(diǎn)并且速度滿足題設(shè)要求．應(yīng)滿足的時(shí)間條件：$\frac{1}{6}{T_0}=\frac{T}{2}$
又${T_0}=\frac{2πm}{{e{B_0}}}$
T的表達(dá)式得：$T=\frac{2πmL}{{3n\sqrt{2emU}}}$（n=1，2，3，…）
答：（1）電子剛進(jìn)入磁場區(qū)域時(shí)的y_P坐標(biāo)（0，（2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）L）；
（2）0≤x≤L 區(qū)域內(nèi)勻強(qiáng)磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小$\frac{\sqrt{2meU}}{2eL}$；
（3）圓形磁場區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀的大小表達(dá)式 ${B_0}=\frac{{n\sqrt{2emU}}}{eL}$（n=1，2，3，…）；
磁場變化周期T應(yīng)滿足的表達(dá)式$T=\frac{2πmL}{{3n\sqrt{2emU}}}$（n=1，2，3，…）．

點(diǎn)評 本題帶電粒子在組合場中運(yùn)動，分別采用不同的方法：電場中運(yùn)用運(yùn)動的合成和分解，磁場中圓周運(yùn)動處理的基本方法是畫軌跡．所加磁場周期性變化時(shí)，要研究規(guī)律，得到通項(xiàng)式．