Question

13．如圖甲所示，平行正對金屬板A、B間距為d，板長為L，板面水平，加電壓后其間勻強電場的場強大小為E=$\frac{2}{π}$V/m，方向豎直向上．板間有周期性變化的勻強磁場，磁感應強度大小隨時間變化的規(guī)律如圖乙所示，設磁感應強度垂直紙面向里為正方向．T=0時刻，一帶電粒子從電場左側靠近B板處（粒子與極板不接觸）以水平向右的初速度v₀開始做勻速直線運動．己知B₁=0.2T，B₂=0.1T，g=10m/s²．

（1）判斷粒子的電性并求出粒子的比荷．
（2）若從t₀時刻起，經過3s的時間粒子速度再次變?yōu)樗�平向右，則t₀至少多大？
（3）若t₀=$\frac{3}{π}$s要使粒子不與金屬板A碰撞且恰能平行向右到達A的右端，試求d與L比值的范圍．

Answer 1

分析 （1）開始粒子做勻速直線運動，由平衡條件就能求出粒子的比荷．
（2）先求出粒子在正負磁場中運動的周期，看兩個半周期與3s的關系，從而判斷出粒子在何處．結合粒子的運動軌跡，畫出粒子在時間t₀內運動的距離與半徑R₂關系，就能t₀求出滿足的關系．
（3）經過多次旋轉和多次直線運動后到達A板右邊緣，這又是一個多解問題：水平方向和豎直方向必須滿足一定的關系，豎直方向距離d恰是n（2R₁+2R₂）；水平方向恰是（n+1）v₀t，據此關系就能求出兩者之比．

解答 解：（1）由題意知粒子帶正電
  由平衡的知識可得：
  mg=qE
  代入數據得：$\frac{q}{m}=5π\(zhòng)\;C/kg$
（2）由T=$\frac{2πm}{qB}$   得粒子在磁感應強度為B₁、B₂的磁場中做勻速圓周運動的周期分別為：
  T₁=2s    T₂=4s
  又由  $qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$  
  得粒子在磁感應強度為B₁、B₂的磁場中做勻速圓周運動的軌道半徑分別為：
   ${R}_{1}=\frac{{v}_{0}}{π}\$      ${R}_{2}=\frac{2{v}_{0}}{π}$
  故粒子從t=0時刻開始運動的一個周期內的軌跡如圖所示．
  據題意有：v₀t₀≥R₂
   所以：${t}_{0}≥\frac{{R}_{2}}{{v}_{0}}$
（3）設粒子經n個運動周期后能平行向右到達A板右邊緣，則：
  豎直方向  d=n（2R₁+2R₂），n=1，2，3 …
  水平方向L_min=nv₀t₀+v₀t₀    n=1，2，3 …
  聯立以上四式并代入數據得：$\frac{2n}{n+1}≤\fracw7m7872{L}≤\frac{6n}{3n+1}$   n=1，2，3 …
答：（1）判斷粒子的電性并求出粒子的比荷為5π．
（2）若從t₀時刻起，經過3s的時間粒子速度再次變?yōu)樗�平向右，則t₀至少多大$\frac{2}{π}s$．
（3）若t₀=$\frac{3}{π}$s要使粒子不與金屬板A碰撞且恰能平行向右到達A的右端，d與L比值的范圍是$\frac{2n}{n+1}≤\fracysaowfr{L}≤\frac{6n}{3n+1}$  （n=1，2，3 …）．

點評 本題是一道帶電粒子交替在電場和正負磁場中做特殊情況下的運動，由于周期的特殊性，所以要分段進行考察，找出運動規(guī)律，結合運動軌跡，不難得到正確結果．但要注意的是本題的多解性，每個一次直線運動后，在豎直方向旋轉幾次，余次類推，最后達到A板的右邊緣．