Question

18．建筑工程中的“打樁”是利用重錘的沖擊克服泥土對(duì)樁柱的阻力，使樁柱插入泥土到達(dá)預(yù)定深度的過程．如圖甲所示，設(shè)打樁機(jī)重錘的質(zhì)量為m，樁柱的質(zhì)量為M．打樁過程可簡(jiǎn)化如下：開始時(shí)，樁柱下端在地表面沒有進(jìn)入泥土，提升重錘到距離樁柱上端h高度后使其自由落下，重錘撞擊樁柱上端，經(jīng)極短時(shí)間的撞擊使兩者以共同的速度一起向下移動(dòng)一段距離后停止．然后再次提升重錘，重復(fù)打樁過程，逐漸把樁柱打到預(yù)定深度．設(shè)樁柱向下移動(dòng)的過程中泥土對(duì)樁柱的阻力f的大小與樁柱打入泥土中的深度x成正比，其函數(shù)表達(dá)式f=kx（k為大于0的已知常量），f-x圖象如圖乙所示．已知重力加速度大小為g．
（1）求重錘與樁柱第一次碰撞過程中損失的機(jī)械能；
（2）在解決一些實(shí)際問題時(shí)，有時(shí)為了簡(jiǎn)化問題，需要忽略一些數(shù)值相對(duì)較小的量，這對(duì)最終的計(jì)算結(jié)果并沒有太大的影響．如在（1）問中，我們忽略了重錘所受重力，可用豎直方向動(dòng)量守恒定律處理問題．同樣，在分析樁柱進(jìn)入泥土的過程中，有時(shí)也可以忽略重錘和樁柱所受的重力．請(qǐng)你說明在重錘撞擊樁柱效果相同的條件下，由于忽略重錘和樁柱所受的重力帶來計(jì)算結(jié)果的差異，對(duì)重錘撞擊樁柱后一起進(jìn)入泥土中的深度的計(jì)算結(jié)果差異的影響．
（3）如果不計(jì)樁柱下移過程重錘和樁柱所受重力的影響，設(shè)每次提升重錘距樁帽的高度均為h，求經(jīng)過三次撞擊后鐵樁被打入泥土的深度．

Answer 1

分析 （1）先自由落體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出重錘與樁柱第一次碰撞前瞬間的速度，由動(dòng)量守恒定律求出碰后共同速度，從而求得碰撞過程中損失的機(jī)械能．
（2）分析重力的影響，明確在打擊中由于高度下降，重力做功，因此使計(jì)算變的復(fù)雜；
（3）不計(jì)重力影響，則根據(jù)功能關(guān)系可知，每次打擊后的動(dòng)能全部克服阻力做功，根據(jù)圖象可求出克服阻力所做的功．

解答 解：（1）碰撞前瞬間重錘速度：$v=\sqrt{2gh}$
取豎直向下方向?yàn)檎�方向，由豎直方向動(dòng)量守恒有：
  mv=（M+m）v_共
即  $m\sqrt{2gh}=（M+m）{v_共}$
得：${v_共}=\frac{{m\sqrt{2gh}}}{（M+m）}$
因此損失的機(jī)械能：$△E=\frac{1}{2}m{v^2}-\frac{1}{2}（M+m）v_共^2=\frac{1}{2}m•2gh-\frac{1}{2}\frac{{{m^2}•2gh}}{（M+m）}=\frac{Mmgh}{（M+m）}$
（2）每次重錘的撞擊會(huì)產(chǎn)生相同的初動(dòng)能，若忽略重錘和樁柱的重力，則相同的初動(dòng)能使得每次克服阻力做功也相同；若沒有忽略重錘和樁柱的重力，則由于每次撞擊樁柱下降的深度不同，阻力做功也不同，計(jì)算會(huì)更加復(fù)雜．
（3）由于每次提升重錘距樁帽的高度均為h，每次碰撞后瞬間的速度均為v_共，
設(shè)三次打擊后共下降x，則由圖象可知，克服阻力做功W=$\frac{1}{2}$kx²
由能量守恒定律得：
  $3×\frac{1}{2}（M+m）v_共^2=\frac{1}{2}k{x^2}$
解得，經(jīng)過三次撞擊后被打入泥土的深度：$x=\sqrt{\frac{{6{m^2}gh}}{（M+m）k}}$．
答：
（1）重錘與樁柱第一次碰撞過程中損失的機(jī)械能是$\frac{Mmgh}{M+m}$．
（2）沒有忽略重錘和樁柱的重力，則由于每次撞擊樁柱下降的深度不同，阻力做功也不同，計(jì)算會(huì)更加復(fù)雜．
（3）經(jīng)過三次撞擊后鐵樁被打入泥土的深度為$\sqrt{\frac{{6{m^2}gh}}{k（M+m）}}$

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查動(dòng)量守恒定律、功能關(guān)系等內(nèi)容，要注意正確分析題意，并且根據(jù)題意構(gòu)建物理模型，從而根據(jù)所學(xué)過的物理知識(shí)進(jìn)行分析，找出合適的物理規(guī)律求解即可，本題對(duì)學(xué)生的分析能力要求較高，應(yīng)在平時(shí)學(xué)習(xí)中注意練習(xí)．