Question

3．如圖所示，平面直角坐標(biāo)系中的第Ⅱ象限內(nèi)有半徑為R的圓分別與x軸、y軸相切于M、N點(diǎn)，圓內(nèi)存在垂直坐標(biāo)系平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．在第Ⅰ象限內(nèi)存在沿y軸方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E．一質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子從M點(diǎn)射入磁場(chǎng)后恰好垂直y軸進(jìn)入電場(chǎng)，最后從Q（$\sqrt{3}$R，0）點(diǎn)射出電場(chǎng)，出射方向與x軸夾角α=60°，粒子的重力不計(jì)，求：
（1）粒子進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的速率v₀；
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B．

Answer 1

分析 （1）粒子垂直于電場(chǎng)進(jìn)入第一象限，粒子做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，由到達(dá)M的速度方向可利用速度的合成與分解得知該點(diǎn)y方向的速度．結(jié)合牛頓第二定律求得粒子的速率v₀；
（2）根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式，求出粒子進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的位置，畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)圖象中的幾何關(guān)系求出粒子運(yùn)動(dòng)的半徑，應(yīng)用牛頓第二定律求出磁感應(yīng)強(qiáng)度．

解答 解：（1）在M處，粒子的y軸分速度：v_y=v₀tanα=$\sqrt{3}$v₀，
設(shè)粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，在x軸方向勻速運(yùn)動(dòng)：$\sqrt{3}$R=v₀t，
設(shè)y軸方向勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度為a，由牛頓第二定律得：qE=ma，
豎直分速度：v_y=at，解得：v₀=$\sqrt{\frac{qER}{m}}$；
（2）粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，O₁為磁場(chǎng)圓的圓心，O₂為粒子軌跡圓的圓心，
P′為粒子射出磁場(chǎng)的位置，由題意可知粒子垂直y軸進(jìn)入電場(chǎng)，
則P′O₂∥PO₁，且P′O₁=PO₁=R，O₂P=O₂P′，由幾何關(guān)系可知O₁P′O₂P為菱形，
即粒子軌跡圓半徑：r=R，粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，解得：B=$\sqrt{\frac{mE}{qR}}$；
答：（1）粒子進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的速率v₀為$\sqrt{\frac{qER}{m}}$；
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B為$\sqrt{\frac{mE}{qR}}$．

點(diǎn)評(píng) 粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)偏轉(zhuǎn)時(shí)，常用能量的觀點(diǎn)來(lái)解決問(wèn)題，有時(shí)也要運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解．粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心、半徑及運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定也是本題的一個(gè)考查重點(diǎn)，要正確畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，能熟練運(yùn)用幾何知識(shí)解決物理問(wèn)題．