Question

真空中足夠大的兩個(gè)相互平行的金屬板a和b之間的距離為d，兩板之間電壓Uab按圖所示規(guī)律變化，其變化周期為T(mén)．在t=0時(shí)刻，一帶電粒子（+q）僅在該電場(chǎng)的作用下，由a板從靜止開(kāi)始向b板運(yùn)動(dòng)，并于t=nT（n為自然數(shù)）時(shí)刻，恰好到達(dá)b板．求：
（1）若粒子在t=

T

6

時(shí)刻才開(kāi)始從a板運(yùn)動(dòng)，那么經(jīng)過(guò)同樣長(zhǎng)的時(shí)間，它將運(yùn)動(dòng)到離a板多遠(yuǎn)的地方？
（2）若該粒子在t=

T

6

時(shí)刻才開(kāi)始從a板運(yùn)動(dòng)，需要經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間才能達(dá)到b板．

Answer 1

分析：帶電粒子在兩板之間電壓Uab按圖所示規(guī)律變化的電場(chǎng)中受到電場(chǎng)力作用，從而做勻變速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)a板從靜止開(kāi)始向b板運(yùn)動(dòng)，并于t=nT（n為自然數(shù)）時(shí)刻，恰好到達(dá)b板．則當(dāng)t=

T

6

時(shí)刻才開(kāi)始從a板運(yùn)動(dòng)，那么經(jīng)過(guò)同樣長(zhǎng)的時(shí)間，前一段時(shí)間是先勻加速后勻減速，后一段時(shí)間回頭勻加速，所以兩段時(shí)間內(nèi)的位移之差即為粒子離開(kāi)a板的距離．由此可知最后一個(gè)周期尚未結(jié)束就已碰到b板，則可由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式算出碰b板后的時(shí)間，從而再減去這個(gè)時(shí)間．

解答：（1）設(shè)帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的加速度為a，前半個(gè)周期為加速運(yùn)動(dòng)，后半個(gè)周期為減速運(yùn)動(dòng)，
所以a、b間距離d=2ns=2n

1

2

a(

T

2

)2①

   若粒子在t=

T

6

時(shí)刻開(kāi)始從a板運(yùn)動(dòng)，該粒子向b 板運(yùn)動(dòng)的距離x₁=2n

1

2

a(

2

6

T)2．
在電場(chǎng)力作用下返回a 板的距離x₂=2n

1

2

a(

T

6

)2，
該粒子向b板運(yùn)動(dòng)的位移：x=x₁-x₂=2n

1

2

a(

2

6

T)2-2n

1

2

a(

T

6

)2②
    所以①÷②得：x=

d

3

（2）最后一個(gè)周期尚未結(jié)束就已經(jīng)碰到b板，則該粒子除去最后一個(gè)周期運(yùn)動(dòng)時(shí)間t₁=（3n-1）T，最后一個(gè)周期中，粒子加速了

T

3

，當(dāng)減速的

T

3

未完成就已和b板相碰，計(jì)算時(shí)仍可按粒子向b板運(yùn)動(dòng)了（

1

3

+

1

3

）T的時(shí)間，再減去碰b板之后的時(shí)間，碰b板之后的時(shí)間可由粒子反向回b板的兩段距離（即反向加速

T

6

及減速的

T

6

距離）和粒子過(guò)b板直到末速度為零時(shí)的勻減速的位移相等而求得，即
2×

1

2

a(

T

6

)2=

1

2

    解出t2=

2

6

T
故粒子從a到b板的總時(shí)間為t=t₁+t₂
所以t=(3n-1)T+

2

3

T-

2

6

T．

點(diǎn)評(píng)：由于粒子不是在電場(chǎng)中一直處于加速或減速，所以導(dǎo)致分析運(yùn)動(dòng)較復(fù)雜．當(dāng)然第2個(gè)問(wèn)題也可以假設(shè)b板向下移動(dòng)到最后一個(gè)周期末速度為零的位置，這算出整段時(shí)間，再去移動(dòng)距離的時(shí)間．