Question

18．動成功進入環(huán)月軌道．如圖所示，陰影部分表示月球，設想飛船在圓形軌道Ⅰ上作勻速圓周運動，在圓軌道Ⅰ上飛行n圈所用時間為t，到達A點時經(jīng)過暫短的點火變速，進入橢圓軌道Ⅱ，在到達軌道Ⅱ近月點B點時再次點火變速，進入近月圓形軌道Ⅲ，而后飛船在軌道Ⅲ上繞月球作勻速圓周運動，在圓軌道Ⅲ上飛行n圈所用時間為$\frac{t}{8}$．不考慮其它星體對飛船的影響，求：
（1）月球的平均密度是多少？
（2）如果在Ⅰ、Ⅲ軌道上有兩只飛船，它們繞月球飛行方向相同，某時刻兩飛船相距最近（兩飛船在月球球心的同側(cè)，且兩飛船與月球球心在同一直線上），則經(jīng)過多長時間，他們又會相距最近？（

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力求得中心天體質(zhì)量，再根據(jù)密度公式求得密度；
（2）相距最近時，兩飛船中運得快的比運動得慢的多繞月飛行n周，根據(jù)角速度關系求解所用時間即可

解答 解：（1）在圓軌道Ⅲ上的周期：
T₃=$\frac{t}{8n}$…①
由萬有引力提供向心力有：$G\frac{mM}{{R}^{2}}$=mR$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$…②
又：M=$ρ\frac{4}{3}$πR³…③
聯(lián)立得：$ρ=\frac{192π{n}^{2}}{G{t}^{2}}$…④
（2）設飛船在軌道1上的角速度為ω₁，在軌道3上的角速度為ω₃，有${ω}_{1}=\frac{2π}{{T}_{1}}$  ${ω}_{3}=\frac{2π}{{T}_{3}}$，
設飛船再經(jīng)時間t相距最近，有：ω₁t-ω₂t=2nπ，得t=$\frac{mt}{7n}$（m=1，2，3，…）他們又會相距最近，
答：1）月球的平均密度是$\frac{192π{n}^{2}}{G{t}^{2}}$
（2）經(jīng)時間$\frac{mt}{7n}$（m=1，2，3，…）他們又會相距最近．

點評 本題主要考查萬有引力定律的應用，開普勒定律的應用．同時根據(jù)萬有引力提供向心力列式計算．