Question

6．如圖所示，寬度為$\sqrt{3}$L的區(qū)域被平均分為區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，其中Ⅰ、Ⅲ有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，它們的磁感強(qiáng)度大小相等，方向垂直紙面且相反．長(zhǎng)為$\sqrt{3}$L，寬為$\frac{L}{2}$的矩形abcd緊鄰磁場(chǎng)下方，與磁場(chǎng)邊界對(duì)齊，O為dc邊中點(diǎn)，P為dc邊中垂線上一點(diǎn)，OP=3L．矩形內(nèi)有勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，方向由a指向O．電荷量為q、質(zhì)量為m、重力不計(jì)的帶電粒子由a點(diǎn)靜止釋放，經(jīng)電場(chǎng)加速后進(jìn)入磁場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)軌跡剛好與區(qū)域Ⅲ的右邊界相切．
（1）求該粒子經(jīng)過(guò)O點(diǎn)時(shí)速度大小v₀；
（2）求勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度大小B；
（3）若在aO之間距O點(diǎn)x處?kù)o止釋放該粒子，粒子在磁場(chǎng)區(qū)域中共偏轉(zhuǎn)n次到達(dá)P點(diǎn)，求x滿足的條件及n的可能取值．

Answer 1

分析 （1）由動(dòng)能定理就能求得粒子在電場(chǎng)中加速后的速度，只是要注意其中的幾何關(guān)系，即在電場(chǎng)方向上加速的距離．
（2）由題意加速后進(jìn)入Ⅲ區(qū)磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)后恰與右邊界相切，畫出軌跡，由幾何關(guān)系關(guān)系求出半徑，再由牛頓第二定律求出求出磁感應(yīng)強(qiáng)度大�。�
（3）大致畫出粒子偏轉(zhuǎn)3次后經(jīng)過(guò)P點(diǎn)，勻減速直線運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)沿豎直方向上的距離之和等于3L．結(jié)合0＜R≤R₀，就能確定n的取值范圍．

解答 解：（1）由題意中長(zhǎng)寬幾何關(guān)系可知aO=L，粒子在aO加速過(guò)程有
動(dòng)能定理：$qEL=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$                          ①
得粒子經(jīng)過(guò)O點(diǎn)時(shí)速度大�。簐₀=$\sqrt{\frac{2EqL}{m}}$         ②
（2）粒子在磁場(chǎng)區(qū)域III中的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖，設(shè)粒子軌跡圓半徑為R₀，
由幾何關(guān)系可得：${R}_{0}-{R}_{0}cos60°=\frac{\sqrt{3}}{3}L$           ③
由洛倫茲力公式和牛頓第二定律得：$q{v}_{0}B=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{{R}_{0}}$    ④
聯(lián)立②③④式，得：B=$\sqrt{\frac{3mE}{2qL}}$               ⑤
（3）若粒子在磁場(chǎng)中一共經(jīng)過(guò)n次偏轉(zhuǎn)到達(dá)P，設(shè)粒子軌跡圓半徑為R，
由幾何關(guān)系有：$2n\{\frac{\sqrt{3}L}{6}tan30°+Rcos30°\}=3L$
依題意有0＜R≤R₀               ⑦
聯(lián)立③⑥⑦得$\frac{9}{7}≤n＜9$，且n取正整數(shù)            ⑧
設(shè)粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)速率為v，有：$qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$    ⑨
在電場(chǎng)中的加速過(guò)程，由動(dòng)能定理：$qEx=\frac{1}{2}m{v}^{2}$    ⑩
聯(lián)立⑤⑥⑨⑩式，得：$x=（\frac{3}{2n}-\frac{1}{6}）^{2}L$，其中n=2、3、4、5、6、7、8⑪
答：（1）該粒子經(jīng)過(guò)O點(diǎn)時(shí)速度大小為$\sqrt{\frac{2EqL}{m}}$．
（2）求勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度大小B為$\sqrt{\frac{3mE}{2qL}}$
（3）若在aO之間距O點(diǎn)x處?kù)o止釋放該粒子，粒子在磁場(chǎng)區(qū)域中共偏轉(zhuǎn)n次到達(dá)P點(diǎn)，x滿足的條件
是：$x=（\frac{3}{2n}-\frac{1}{6}）^{2}L$  其中n=2、3、4、5、6、7、8．

點(diǎn)評(píng) 本題的靚點(diǎn)在于第三問(wèn)，在ao上某點(diǎn)射出的粒子經(jīng)過(guò)勻速直線運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)多次循環(huán)最后到達(dá)P點(diǎn)，所以從最簡(jiǎn)單的情況去考慮，既要沿豎直方向的距離之和為3L，同時(shí)還要考慮有可能穿出磁場(chǎng)的情況，兩者綜合考慮，確定偏轉(zhuǎn)次數(shù)，再?zèng)Q定離a點(diǎn)的距離．