Question

如圖甲所示，I、Ⅱ兩區(qū)是垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的邊界相互平行，I區(qū)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₁，磁場(chǎng)寬度足夠大．Ⅱ區(qū)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₂，磁場(chǎng)寬度為L(zhǎng)．兩磁場(chǎng)之間勻強(qiáng)電場(chǎng)的寬度為L(zhǎng)．一質(zhì)量為m、電荷量為+q、重力不計(jì)的粒子，從Ⅱ區(qū)右邊界的P點(diǎn)以平行于邊界且與磁場(chǎng)垂直的初速度v₀開始運(yùn)動(dòng)，以此作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，豎直向下為電場(chǎng)的正方向，電場(chǎng)隨時(shí)間做周期性變化的規(guī)律如圖乙所示．粒子離開Ⅱ區(qū)進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)，速度恰好與電場(chǎng)方向垂直．再經(jīng)過一段時(shí)間，粒子恰又回到P點(diǎn)，如此循環(huán)，粒子循環(huán)運(yùn)動(dòng)一周，電場(chǎng)恰好變化一個(gè)周期．已知sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）請(qǐng)用E₀及已知量表示粒子第一次穿越電場(chǎng)時(shí)沿電場(chǎng)方向的偏移量；
（2）若E₀=

4m v 20

3qL

，要實(shí)現(xiàn)上述循環(huán)，求B₁的大��；
（3）在滿足（2）問的條件下，求電場(chǎng)變化的周期．

Answer 1

（1）粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 t=

L

v0

①
沿電場(chǎng)方向的位移 y=

1

2

at2 ②
y=

qE0L2

2m v 20

③
（2）由題意，粒子離開電場(chǎng)時(shí)沿電場(chǎng)方向的速度
v_y=at=

qE

m

?

L

v0

=

4

3

v₀ ④
故粒子進(jìn)入Ⅰ區(qū)磁場(chǎng)時(shí)，速度大小 v=

v 20 + v 2y

=

v 20 +( 4 3 v0)2

=

5

3

v₀ ⑤
粒子在電場(chǎng)中沿y方向的位移 y=

1

2

at2=

qE0

2m

t²=

2

3

L ⑥
粒子在Ⅰ區(qū)做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心必須在過P點(diǎn)且與電場(chǎng)垂直的虛線上才能滿足要求，由幾何關(guān)系，有：

L- 2 3 L

v0

=

R

5 3 v0

⑦
得：R=

5

9

L ⑧
由R=

mv

qB1

得：B₁=

mv

qR

=

3mv0

qL

⑨
（3）粒子在Ⅱ區(qū)轉(zhuǎn)四分之一圓弧所用的時(shí)間 t₁=

1

4

?

2πm

qB2

=

πm

2qB2

粒子在Ⅰ區(qū)轉(zhuǎn)37°所用的時(shí)間 t₂=

37

360

?

2πm

qB1

=

37πm

180qB1

電場(chǎng)變化的周期 T=2（t₁+t+t₂）=2×（

πm

2qB2

+

L

v0

+

37πm

180qB1

）=

πm

qB2

+

2L

v0

+

37πL

270v0

答：
（1）粒子第一次穿越電場(chǎng)時(shí)沿電場(chǎng)方向的偏移量為

qE0L2

2m v 20

；
（2）B₁的大小為

3mv0

qL

；
（3）電場(chǎng)變化的周期為

πm

qB2

+

2L

v0

+

37πL

270v0

．