Question

如圖所示，兩互相平行的水平金屬導(dǎo)軌MN、PQ放在豎直平面內(nèi)，相距為L(zhǎng)=0.4cm，左端接平行板電容器，板間距離為d=0.2m，右端接滑動(dòng)變阻器R（R的最大阻值為Ω），整個(gè)空間有水平勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=10T，方向垂直于導(dǎo)軌所在平面．導(dǎo)體棒CD與導(dǎo)軌接觸良好，棒的電阻為r=1Ω，其它電阻及摩擦均不計(jì)，現(xiàn)對(duì)導(dǎo)體棒施加與導(dǎo)軌平行的大小為F=2N的恒力作用，使棒從靜止開始運(yùn)動(dòng)，取g=10m/s²．求：
（1）當(dāng)滑動(dòng)變阻器R接入電路的阻值最大時(shí)，拉力的最大功率是多大？
（2）當(dāng)滑動(dòng)觸頭在滑動(dòng)變阻器中點(diǎn)且導(dǎo)體棒處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，一帶電小球從平行板電容器左側(cè)沿兩極板的正中間射入，在兩極板間恰好做勻速直線運(yùn)動(dòng)；當(dāng)滑動(dòng)觸頭在滑動(dòng)變阻器最下端且導(dǎo)體棒處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，該帶電小球以同樣的方式和速度入射，在兩極間恰能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求圓周的半徑是多大？

Answer 1

分析：（1）當(dāng)導(dǎo)體棒穩(wěn)定時(shí)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)體棒處于平衡狀態(tài)，導(dǎo)體棒受到的安培力與拉力大小相等，求出拉力功率的表達(dá)式，然后根據(jù)表達(dá)式求出拉力功率的最大值．
（2）小球勻速通過極板時(shí)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，對(duì)小球受力分析，然后由平衡條件列方程；小球在極板間做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，重力與電場(chǎng)力合力為零，
由平衡條件及牛頓第二定律列方程，然后解方程組，求出小球的速度與軌道半徑．

解答：解：（1）當(dāng)棒達(dá)到勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，金屬棒受到的安培力：
F_B=BIL=B

BLv

R+r

L=

B2L2v

R+r

，
由平衡條件得：F=F_B，即：F=

B2L2v

R+r

，
導(dǎo)體棒的速度v=

F(R+r)

B2L2

，
拉力功率P=Fv=

F2(R+r)

B2L2

可知，回路的總電阻越大時(shí)，拉力功率越大，當(dāng)R=2Ω時(shí)，拉力功率最大，最大功率為P_m=0.75W；
（2）當(dāng)觸頭滑到中點(diǎn)即R=1Ω時(shí)
棒勻速運(yùn)動(dòng)的速度v₁=

F(R+r)

B2L2

=0.25m/s
導(dǎo)體棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E₁=BLv₁=10×0.4×0.25=1V
電容器兩極板間電壓U₁=

E1R

R+r

=0.5V，
由于棒在平行板間做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則小球必帶正電
此時(shí)小球受力情況如圖所示，設(shè)小球的入射速度為v₀
由平衡條件知：F+f=G 即 q

U1

d

+qv₀B=mg…①
當(dāng)滑頭滑至下端即R=2Ω時(shí)，棒的速度v₂=

F(R+r)

B2L2

=

3

8

m/s
導(dǎo)體棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) E₂=BLv₂=1.5V
電容器兩極板間的電壓U₂=

E2R

R+r

=1V
由于小球在平行板間做勻速圓周運(yùn)動(dòng)
電場(chǎng)力與重力平衡，于是：q

U2

d

=mg…②
代入數(shù)值，由①②解得：v₀=

U2-U1

Bd

=0.25m/s
小球作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)洛侖茲力提供向心力
由牛頓第二定律得：qv₀B=m

v 2 0

r

小球作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r=0.0125m
答：
（1）導(dǎo)體棒處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)拉力的最大功率是0.75W．
（2）小球在兩極板間恰好做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度為0.25m/s，做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為0.0125m．

點(diǎn)評(píng)：本題涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，是電磁感應(yīng)與電路、與力學(xué)相結(jié)合的一道綜合題，本題難度較大，是一道難題；正確受力分析、分析清楚過程、熟練掌握并靈活應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)是正確解題的關(guān)鍵．