Question

11．在光滑絕緣水平桌面上有一邊長為2l的正方形區(qū)域abcd，e為dc邊上的一點，且ec=$\sqrt{3}$l，f為bc邊的中點，在bc右側(cè)固定“V”字型足夠長的絕緣彈性擋板fg、fh，兩擋板與bc的夾角均為60°，俯視圖如圖甲所示，正方形區(qū)域abcd存在方向垂直于桌面的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B₀，“V”字型區(qū)域內(nèi)有垂直桌面的交變磁場，磁感應(yīng)強度隨時間變化如圖乙所示（垂直桌面向下為磁場的正方向），其中B₁=B₀，B₂未知．一帶電小球靜止在e點，現(xiàn)使小球以平行桌面的速度v從e點射入正方形區(qū)域，經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后，在t=0時刻恰好從f點垂直bc射出，進入“V”字型擋板內(nèi)的磁場中，在t₁時刻小球撞到擋板fg，在t₁+t₂時刻（t₁、t₂均為未知）小球撞到擋板fh，然后小球又從f點返回正方形區(qū)域．若小球與擋板碰撞前后電荷量不變，沿板的分速度不變、垂直板的分速度大小不變方向相反，不計碰撞的時間及磁場變化產(chǎn)生的影響．求：

（1）帶電小球的比荷$\frac{q}{m}$；
（2）帶電小球從e點射入磁場到第二次經(jīng)過f點所用的時間；
（3）帶電小球離開正方形磁場區(qū)域的位置．

Answer 1

分析 （1）在正方形磁場中已知粒子出射點的速度方向和出、入射點的位置，由圓的相關(guān)知識很容易找到圓心及半徑，由洛侖茲力提供向心力就能求出粒子的比荷．
（2）粒子第二次經(jīng)過f點，則粒子在交變的V形磁場區(qū)域內(nèi)做勻速圓周運動的軌跡具有對稱性，畫出其軌跡，確定半徑大小，從而確定B₁、B₂    與B₀的關(guān)系，從而求出周期關(guān)系，從偏轉(zhuǎn)角求出在各個時間段的時間，再求出總時間．
（3）由f點進入正方形磁場后，由于速度方向變向，所以偏轉(zhuǎn)方向?qū)⑾蛏蠈ΨQ地打在ab邊上，與e對稱．

解答 解：（1）小球在正方形磁場區(qū)域內(nèi)運動的軌跡如圖1所示，
  由圖知半徑為：r=2l    
  由$r=\frac{mv}{qB}$得：$\frac{q}{m}=\frac{v}{2{B}_{0}l}$     
（2）小球在正方形區(qū)域運動的周期為：${T}_{1}=\frac{2πm}{q{B}_{0}}$  
  運動時間為：$t=\frac{{T}_{1}}{6}$  
  小球進入“V”字型磁場區(qū)域運動的軌跡如圖2所示，軌跡半徑仍為2l，
  周期仍為：${T}_{1}=\frac{2πm}{q{B}_{0}}$，${t}_{2}=\frac{{T}_{1}}{6}$  
  小球與gf板碰后，磁感應(yīng)強度為B₂，運動的軌跡半徑為l 
  由$r=\frac{mv}{qB}$得：B₂=2B₀  
  周期為：${T}_{2}=\frac{πm}{q{B}_{0}}$，
運動時間為：${t}_{3}=\frac{{T}_{2}}{2}$  
  小球與fh板碰后，磁場的磁感應(yīng)強度為B₀，半徑仍為2l   
  周期仍為：${T}_{1}=\frac{2πm}{q{B}_{0}}$，
運動時間為：${t}_{4}=\frac{{T}_{1}}{2}$  
  小球由e點射入磁場到返回到f點所用的時間：
  $t={t}_{1}+{t}_{2}+{t}_{3}+{t}_{4}=\frac{{T}_{1}+{T}_{2}}{2}=\frac{3πm}{q{B}_{0}}$=$\frac{3πl(wèi)}{v}$  
（3）小球再次進入正方形區(qū)域內(nèi)運動的軌跡如圖3所示，小球從p點離開區(qū)域，p點到b點的距
  離為$\sqrt{3}l$，距e點的距離為2l．
答：（1）帶電小球的比荷為$\frac{v}{2{B}_{0}l}$．
（2）帶電小球從e點射入磁場到第二次經(jīng)過f點所用的時間為$\frac{3πl(wèi)}{v}$．
（3）帶電小球離開正方形磁場區(qū)域的位置：到b點的距
離為$\sqrt{3}l$，距e點的距離為2l．

點評 本題的關(guān)鍵是要畫出粒子在兩種磁場中的運動軌跡，由軌跡找到粒子做勻速圓周運動的圓心和半徑，從而確定磁感應(yīng)強度與B₀的關(guān)系，確定周期關(guān)系，從而求出粒子在每一時間段的時間，再求出總時間．要說明的是此題的解法直接利用了粒子做勻速圓周運動的半徑公式和周期公式（當然推導(dǎo)過程也很簡單），即：$r=\frac{mv}{qB}$，$T=\frac{2πm}{qB}$．