Question

在光滑水平面上，有一個(gè)粗細(xì)均勻的單匝正方形線圈abcd，現(xiàn)在外力的作用下從靜止開始向右運(yùn)動(dòng)，穿過(guò)固定不動(dòng)的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)區(qū)域的寬度為d且小于線圈邊長(zhǎng)．現(xiàn)測(cè)得線圈中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E的大小和運(yùn)動(dòng)時(shí)間t變化關(guān)系如下圖所示．已知圖象中三段時(shí)間分別為△t₁，△t₂，△t₃，且在△t₂時(shí)間內(nèi)外力為恒力．
（1）若測(cè)得線圈bc邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)測(cè)得線圈速度為V，bc兩點(diǎn)間電壓為U，求△t₁時(shí)間內(nèi)，線圈中的平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)．
（2）若已知△t₁：△t₂：△t₃=2：2：1，則線框邊長(zhǎng)與磁場(chǎng)寬度比值為多少？
（3）若僅給線圈一個(gè)初速度v₀使線圈自由向右滑人磁場(chǎng)，試畫出線圈自bc邊進(jìn)入磁場(chǎng)開始，其后可能出現(xiàn)的v-t圖象．（只需要定性表現(xiàn)出速度的變化，除了初速度v₀外，不需要標(biāo)出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)）

Answer 1

分析：1、線圈bc邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，bc邊切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，bc邊相當(dāng)于電源，bc間電壓相當(dāng)于路端電壓．
2、根據(jù)圖象可知，電動(dòng)勢(shì)大小隨時(shí)間均勻增大，根據(jù)E=BLv得速度v隨時(shí)間均勻增大，線框作勻加速直線運(yùn)動(dòng)．
3、若僅給線圈一個(gè)初速度v₀使線圈自由向右滑人磁場(chǎng)時(shí)，單匝正方形線圈受到向左的安培力，向右做減速運(yùn)動(dòng)，安培力隨速度的減小而減小，所以線圈向右做加速度減小的減速運(yùn)動(dòng)，但可能出現(xiàn)三種情形．
第一種情況，若v₀比較小，當(dāng)bc邊到達(dá)磁場(chǎng)右邊界前，速度就已經(jīng)減為零，接下來(lái)，就保持靜止．
第二種情況，當(dāng)bc邊到達(dá)磁場(chǎng)右邊界時(shí)，速度還沒有減小為零，接下來(lái)穿過(guò)線圈的磁通量不變化，沒有感應(yīng)電流，不受安培力，線圈做勻速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)ad邊進(jìn)入磁場(chǎng)后，又要受到向左的安培力，接著又做加速度減小到的減速運(yùn)動(dòng)．
ad邊進(jìn)入磁場(chǎng)做減速運(yùn)動(dòng)又有兩種情形：第一，可能ad邊到達(dá)磁場(chǎng)右邊界前，速度就已經(jīng)減為零；第二，可能ad邊到達(dá)磁場(chǎng)右邊界時(shí)，速度還沒有經(jīng)減為零，接著水平方向不受力，線圈做勻速運(yùn)動(dòng)．

解答：解：（1）線圈bc邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，bc邊切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，bc邊相當(dāng)于電源，bc間電壓相當(dāng)于路端電壓．
               由于bc間電壓U，則感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)

4

3

U
設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，則：

4

3

U=BLv…①
△t₁時(shí)間內(nèi)，平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=

△φ

△t1

=

BLd

△t1

/…②
聯(lián)立①②解得E=

4Ud

3v△t1

（2）根據(jù)圖象可知，電動(dòng)勢(shì)大小隨時(shí)間均勻增大，根據(jù)E=BLv得速度v隨時(shí)間均勻增大，線框作勻加速直線運(yùn)動(dòng)．
設(shè)線框加速度a，bc邊進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度v，△t₁=△t₂=2△t₃=2△t，線框邊長(zhǎng)L，磁場(chǎng)寬d，
根據(jù)三段時(shí)間內(nèi)線框位移，得
v?2△t+

1

2

a(2△t)2=d
v?4△t+

1

2

a(4△t)2=L
v?5△t+

1

2

a(5△t)2=L+d
解得

L

d

=

18

7

（3）若僅給線圈一個(gè)初速度v₀使線圈自由向右滑人磁場(chǎng)時(shí)，單匝正方形線圈受到向左的安培力，向右做減速運(yùn)動(dòng)，安培力隨速度的減小而減小，所以線圈向右做加速度減小的減速運(yùn)動(dòng)，但可能出現(xiàn)以下幾種情況．
第一種情況，若v₀比較小，當(dāng)bc邊到達(dá)磁場(chǎng)右邊界前，速度就已經(jīng)減為零，接下來(lái)，就保持靜止，如圖甲．
第二種情況，當(dāng)bc邊到達(dá)磁場(chǎng)右邊界時(shí)，速度還沒有減小為零，接下來(lái)穿過(guò)線圈的磁通量不變化，沒有感應(yīng)電流，不受安培力，線圈做勻速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)ad邊進(jìn)入磁場(chǎng)后，又要受到向左的安培力，接著又做加速度減小到的減速運(yùn)動(dòng)．
ad邊進(jìn)入磁場(chǎng)做減速運(yùn)動(dòng)又有兩種情形：第一，可能ad邊到達(dá)磁場(chǎng)右邊界前，速度就已經(jīng)減為零，如圖乙；第二，可能ad邊到達(dá)磁場(chǎng)右邊界時(shí)，速度還沒有經(jīng)減為零，接著水平方向不受力，線圈做勻速運(yùn)動(dòng)，如圖丙．
所以，若僅給線圈一個(gè)初速度v₀使線圈自由向右滑人磁場(chǎng)，自線圈bc邊進(jìn)入磁場(chǎng)開始，其后出現(xiàn)的v-t圖象有如下三種情形．

答：（1）若測(cè)得線圈bc邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)測(cè)得線圈速度為V，bc兩點(diǎn)間電壓為U，求△t₁時(shí)間內(nèi)，線圈中酌平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：得E=

4Ud

3v△t1

（2）若已知△t₁：△t₂：△t₃=2：2：1，則線框邊長(zhǎng)與磁場(chǎng)寬度比值為18：7．
（3）若僅給線圈一個(gè)初速度v₀使線圈自由向右滑人磁場(chǎng)，自線圈bc邊進(jìn)入磁場(chǎng)開始，其后出現(xiàn)的v-t圖象如上面圖甲、圖乙、圖丙三種情形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，法拉第電磁感應(yīng)定律，導(dǎo)體切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，閉合電路，安培力，力與運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，是一道電磁學(xué)和力學(xué)的綜合題，屬于難題．