Question

天文學(xué)家經(jīng)過用天文望遠鏡的長期觀測，在宇宙中發(fā)現(xiàn)了許多“雙星”系統(tǒng)，所謂“雙星”系統(tǒng)是指由兩個星體組成的天體系統(tǒng)．其中每個星體的線度均遠小于兩個星體之間的距離．根據(jù)對“雙星”系統(tǒng)的光學(xué)測量確定，這兩個星體中的每一星體均在繞二者連線上的某一點做勻速圓周運動，星體到該點的距離與星體的質(zhì)量成反比，一般雙星系統(tǒng)與其他星體距離很遠，除去雙星系統(tǒng)中兩個星體之間的相互作用的萬有引力外，雙星系統(tǒng)所受其他天體的引力均可忽略不計．根據(jù)對一“雙星”系統(tǒng)的光學(xué)測量確定，此雙星系統(tǒng)中每個星體的質(zhì)量均為m，兩者之間的距離為L．
（1）根據(jù)天體力學(xué)理論計算該雙星系統(tǒng)的運動周期T₀；
（2）若觀測到的該雙星系統(tǒng)的實際運動周期為T，且有T₀：T=

N

：1（N＞1），為了解釋T與T₀之間的差異，目前有一種流行的理論認(rèn)為，在宇宙中可能存在著一種用望遠鏡觀測不到的“暗物質(zhì)”．作為一種簡化的模型，我們假定認(rèn)為在以這兩個星體的連線為直徑的球體內(nèi)部均勻分布著這種暗物質(zhì)，若不再考慮其他暗物質(zhì)的影響，試根據(jù)這一模型理論和上述的觀測結(jié)果，確定該雙星系統(tǒng)中的這種暗物的密度．

Answer 1

（1）雙星均繞它們的連線的中點做圓周運動，萬有引力提供向心力得：G

m2

L2

=m

4π2

T 20

?

L

2

解得：T0=πL

2L Gm

．
（2）根據(jù)觀測結(jié)果，星體的運動周期T=

1

N

T0＜T0這種差異是由雙星內(nèi)均勻分布的暗物質(zhì)引起的，均勻分布在球體內(nèi)的暗物質(zhì)對雙星系統(tǒng)的作用與一質(zhì)量等于球內(nèi)暗物質(zhì)的總質(zhì)量m'，位于中點O處的質(zhì)點的作用相同．
則有：G

m2

L2

+G

mm′

( L 2 )2

=m

4π2

T2

?

L

2

解得：T=πL

2L G(m+4m′)

所以：m′=

N-1

4

m
設(shè)所求暗物質(zhì)的密度為ρ，則有：

4

3

π(

L

2

)3ρ=

N-1

4

m
解得：ρ=

3(N-1)m

2πL3

答：（1）該雙星系統(tǒng)的運動周期T₀為πL

2L Gm

；
（2）該雙星系統(tǒng)中的這種暗物的密度為

3(N-1)m

2πL3

．