Question

如圖所示，一個(gè)帶有圓弧的粗糙滑板A，質(zhì)量為m_a=3 kg，其圓弧部分與水平部分相切于P，水平部分PQ長(zhǎng)為L(zhǎng)=3.75 m.開(kāi)始時(shí)A靜止在光滑水平面上，有一質(zhì)量為m_B=2 kg的小木塊B從滑板A的右端以水平初速度v₀=5 m/s滑上A，小木塊B與滑板A之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.15,小木塊B滑到滑板A的左端并沿著圓弧部分上滑一段弧長(zhǎng)后返回，最終停止在滑板A上.

（1）求A、B相對(duì)靜止時(shí)的速度大��；

（2）若B最終停在A的水平部分上的R點(diǎn)，P、Q相距1 m，求B在圓弧上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中因摩擦而產(chǎn)生的內(nèi)能；

（3）若圓弧部分光滑，且除v₀不確定外其他條件不變，討論小木塊B在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否有可能在某段時(shí)間里相對(duì)地面向右運(yùn)動(dòng).如不可能，說(shuō)明理由；如可能，試求出B既能向右滑動(dòng)，又不滑離木板A的v₀取值范圍.（取g=10 m/s²,結(jié)果可保留根號(hào)）

Answer 1

（1）小木塊B從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)直到A、B相對(duì)靜止的過(guò)程中，系統(tǒng)水平方向上動(dòng)量守恒，

    故有m_Bv₀=(m_B+m_A)v                                                       ①

    解得v=v₀=2 m/s.                                                        ②

（2）B在A的圓弧部分的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，它們之間因摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能為Q₁，B在A的水平部分往返的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，它們之間因摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能為Q₂，由能量關(guān)系得到

    m_Bv₀²=(m_B+m_A)v²+Q₁+Q₂                                               ③

    Q₂=μm_Bg·(L_QP+L_PR)                                                      ④

    Q₁=m_Bv₀²-(m_B+m_A)v²-μm_Bg(L_QP+L_PR)=0.75 J.                              ⑤

（3）設(shè)小木塊B下滑到P點(diǎn)時(shí)速度為v_b，同時(shí)A的速度為v_a,由動(dòng)量守恒和能量關(guān)系可得

    m_Bv₀=m_Bv_B+m_Av_A                                                         ⑥

    m_Bv₀²=m_Bv_B²+m_Av_A²+μm_BGl                                         ⑦

    由⑥⑦兩式可以得到5v_B²-4v₀v_B-v₀²+0.9gL=0,令v_B=＜0,化簡(jiǎn)后為v₀²＞0.9gL                                                                 ⑧

    若要求B最終不滑離A，由能量關(guān)系得

    μm_Bg·2L≥m_Bv₀²-(m_B+m_A)v²                                         ⑨

    化簡(jiǎn)得v₀²≤Gl                                                           ⑩

    故B既能對(duì)地向右滑動(dòng)，又不滑離A的條件為0.9gL＜v₀²≤gL                  11

    即m/s＜v₀≤ m/s(5.8 m/s＜v≤6.1 m/s.                   12