Question

19．如圖所示，MN為光滑的水平面，NO是一長度S=1.25m、傾角為θ=37°的光滑斜面（斜面體固定不動(dòng)），OP為一粗糙的水平面．MN、NO間及NO、OP間用一小段光滑圓弧軌道相連．一條質(zhì)量為m=2kg，總長L=0.8m的均勻柔軟鏈條開始時(shí)靜止的放在MNO面上，其AB段長度為L₁=0.4m．鏈條與OP面的摩擦系數(shù)μ=0.5．（g=10m/s²，sin37°=0.6．cos37°=0.8）現(xiàn)自由釋放鏈條，求：
（1）鏈條的A端滑到O點(diǎn)時(shí)，鏈條的速率為多大？
（2）鏈條在水平面OP停下時(shí)，其C端離O點(diǎn)的距離為多大？

Answer 1

分析 （1）鏈條的A端滑到O點(diǎn)的過程中，因?yàn)橹挥兄亓ψ龉�，所以機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律即可求得鏈條A端滑到O點(diǎn)時(shí)的速率；
（2）摩擦力隨距離均勻增大，可以用平均摩擦力求摩擦力做功；從鏈條的A端滑到O點(diǎn)到最終鏈條停下的過程，由動(dòng)能定理可求得停下時(shí)的C端距O點(diǎn)的距離．

解答 解：（1）鏈條的A端滑到O點(diǎn)的過程中，因?yàn)橹挥兄亓ψ龉�，所以機(jī)械能守恒．
設(shè)水平面為重力勢能的零點(diǎn)．鏈條開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的機(jī)械能為E₁
設(shè)AB段鏈條質(zhì)量為m₁=1.0kg，BC段鏈條質(zhì)量為m₂=1.0kg．
E₁=m₂gSsinθ+m₁g（Ssinθ-$\frac{{L}_{1}}{2}$sinθ）=1×10×1.25×0.6+1×10×（1.25×0.6-0.2×0.6）=13.8J；
因?yàn)镾＞L，鏈條的A端滑到O點(diǎn)時(shí)，C點(diǎn)已在斜面上．設(shè)此時(shí)的機(jī)械能為E₂，
E₂=mg$\frac{L}{2}$sinθ+$\frac{1}{2}$mv²
由機(jī)械能守恒定律E₁=E₂
鏈條的A端滑到O點(diǎn)時(shí)的速率v
v=$\sqrt{\frac{2{E}_{1}-mgLsinθ}{m}}$=$\sqrt{\frac{2×13.8-2×10×0.8×0.6}{2}}$=3m/s          
（2）鏈條在開始進(jìn)入水平面階段，摩擦力是變力．
但摩擦力隨距離均勻增大，可以用平均摩擦力求摩擦力做功
從鏈條的A端滑到O點(diǎn)到最終鏈條停下的過程，由動(dòng)能定理
mg$\frac{L}{2}$sinθ-$\frac{1}{2}$μmgL-μmgX=0-$\frac{1}{2}$mv²                         
鏈條在水平面OP停下時(shí)，其C端離O點(diǎn)的距離X
X=$\frac{gLsinθ-μgL+{v}^{2}}{2μg}$=$\frac{10×0.8×0.6-0.5×10×0.8+{3}^{2}}{2×0.5×10}$=0.98m．
答：（1）鏈條的A端滑到O點(diǎn)時(shí)，鏈條的速率為3m/s；
（2）鏈條在水平面OP停下時(shí)，其C端離O點(diǎn)的距離為0.98m．

點(diǎn)評 本題考查動(dòng)能定理以及機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用，要注意正確分析物理過程，明確摩擦力功的計(jì)算方法，知道雖然摩擦力是變力，但由于其均勻變化，故可以利用平均值求解摩擦力的功．