Question

（2006?重慶）某研究性學(xué)習(xí)小組用如圖所示的裝置來(lái)選擇密度相同、大小不同的球狀納米粒子．密度相同的粒子在電離室中被電離后帶正電，電量與其表面積成正比．電離后粒子緩慢通過(guò)小孔O₁進(jìn)入極板間電壓為U的水平加速電場(chǎng)區(qū)域I，再通過(guò)小孔O₂射入相互正交的恒定勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域II，其中磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向外．收集室的小孔O₃與O₁、O₂在同一條水平線上．實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：半徑為r₀的粒子，其質(zhì)量為m₀、電量為q₀，剛好能沿O₁O₃直線射入收集室．不計(jì)納米粒子重力和粒子之間的相互作用力．（球形體積和球形面積公式分別為V_球=

4

3

πr³，S_球=4πr²）．求：

（1）圖中區(qū)域II的電場(chǎng)強(qiáng)度E；
（2）半徑為r的粒子通過(guò)O₂時(shí)的速率v；
（3）試討論半徑r≠r₀的粒子進(jìn)入?yún)^(qū)域II后將向哪個(gè)極板偏轉(zhuǎn)．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子在電場(chǎng)中被加速，當(dāng)進(jìn)入?yún)^(qū)域II內(nèi)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，因而根據(jù)動(dòng)能定理可求出被加速的速度大小，再由洛倫茲力等于電場(chǎng)力，從而確定電場(chǎng)強(qiáng)度的大小與方向；
（2）根據(jù)密度相同，可確定質(zhì)量與半徑立方關(guān)系；根據(jù)題意，可知電量與半徑平方關(guān)系．從而由動(dòng)能定理可算出粒子通過(guò)O₂時(shí)的速率；
（3）由半徑的不同，導(dǎo)致速度大小不一，從而出現(xiàn)洛倫茲力與電場(chǎng)力不等現(xiàn)象，根據(jù)其力大小確定向哪個(gè)極板偏轉(zhuǎn)．

解答：解　（1）設(shè)半徑為r₀的粒子加速后的速度為v₀，則

1

2

m0

v

2 0

=q0U
解得：v0=

2q0U m0

設(shè)區(qū)域II內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度為E，則
洛倫茲力等于電場(chǎng)力，即v₀ q₀B=q₀E 
解得：E=Bv0=B

2q0U m0

電場(chǎng)強(qiáng)度方向豎直向上．                               
（2）設(shè)半徑為r的粒子的質(zhì)量為m、帶電量為q、被加速后的速度為v，
則m=(

r

r0

)3m0
 而q=(

r

r0

)2q0
  由　

1

2

mv2=qU
解得：v=

2q0Ur0 m0r

=

r0 r

v0                     
（3）半徑為r的粒子，在剛進(jìn)入?yún)^(qū)域II時(shí)受到合力
為F_合=qE-qvB=qB（v₀-v）
由v=

r0 r

v0可知，
當(dāng)r＞r₀時(shí)，v＜v₀，F(xiàn)_合＞0，粒子會(huì)向上極板偏轉(zhuǎn)；
當(dāng)r＜r₀時(shí)，v＞v₀，F(xiàn)_合＜0，粒子會(huì)向下極板偏轉(zhuǎn)． 
答：（1）圖中區(qū)域II的電場(chǎng)強(qiáng)度B

2q0U m0

；
（2）半徑為r的粒子通過(guò)O₂時(shí)的速率

r0 r

v0；
（3）由v=

r0 r

v0可知，
當(dāng)r＞r₀時(shí)，v＜v₀，F(xiàn)_合＞0，粒子會(huì)向上極板偏轉(zhuǎn)；
當(dāng)r＜r₀時(shí)，v＞v₀，F(xiàn)_合＜0，粒子會(huì)向下極板偏轉(zhuǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查運(yùn)用動(dòng)能定理求帶電粒子在電場(chǎng)中加速后的速度大小，再洛倫茲力與電場(chǎng)力關(guān)系來(lái)確定偏向何處．同時(shí)注意緊扣題意密度相同及電量與表面積成正比等隱含條件．