Question

15．如圖所示，在光滑絕緣的水平桌面上建立一直角坐標(biāo)系XOY，水平桌面處在周期性變化的電場和磁場中，電場和磁場的變化規(guī)律如圖乙所示（規(guī)定沿X軸正方向為電場強度E的正方向，豎直向下為磁感應(yīng)強度B的正方向）．在t=0時刻，一質(zhì)量為m=10g、電荷量為q=0.1C的帶正電金屬小球自坐標(biāo)原點O處以大小v₀=2m/s的速度沿X軸正方向射出．已知E=0.2N/C，B=0.1πT．求：
（1）t=1s末，金屬小球速度的大�。�
（2）1s～2s內(nèi)，金屬小球在磁場中做圓周運動的周期T和半徑R；
（3）6s內(nèi)金屬小球運動離X軸、Y軸的最大距離s_X和s_Y．

Answer 1

分析 （1）第一秒內(nèi)粒子做類似平拋運動，根據(jù)牛頓第二定律和運動學(xué)公式列式求解；
（2）根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式求解軌道半徑，由圓周運動公式求得周期；
（3）先求出5s末的位置坐標(biāo)和速度大小和方向，再求出第6s內(nèi)的軌道半徑，畫出軌跡，最后求離x軸最遠(yuǎn)距離

解答 解：（1）在0～1s內(nèi)，金屬小球在電場力作用下，在x軸方向上做勻速運動v_x=v₀
y方向做勻加速運動${v}_{y}^{\;}=\frac{q{E}_{0}^{\;}}{m}{t}_{1}^{\;}$=$\frac{0.2×0.1}{10×1{0}_{\;}^{-3}}×1m/s=2m/s$
1s末粒子的速度${v}_{1}^{\;}=\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}=2\sqrt{2}m/s$
（2）設(shè)v₁與x軸正方向的夾角為α，則$tanα=\frac{{v}_{y}^{\;}}{{v}_{x}^{\;}}$=$\frac{2}{2}=1$
 得  α=45°．
在1～2s內(nèi)，粒子在磁場中做圓周運動，由牛頓第二定律
$q{v}_{1}^{\;}{B}_{0}^{\;}=m\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}^{\;}}$
得${R}_{1}^{\;}=\frac{m{v}_{1}^{\;}}{q{B}_{0}^{\;}}=\frac{10×1{0}_{\;}^{-3}×2\sqrt{2}}{0.1×0.1π}=\frac{2\sqrt{2}}{π}m$
粒子做圓周運動的周期：$T=\frac{2πm}{q{B}_{0}^{\;}}=\frac{2π×10×1{0}_{\;}^{-3}}{0.1×0.1π}$=2s
（3）畫出粒子運動的軌跡如圖所示，

第1s內(nèi)的位移${x}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}\frac{q{E}_{0}^{\;}}{m}{t}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}×\frac{0.1×0.2}{10×1{0}_{\;}^{-3}}×{1}_{\;}^{2}=1m$
小球在6s內(nèi)運動到離X軸的最大距離${S}_{X}^{\;}=2{R}_{1}^{\;}=\frac{4\sqrt{2}}{π}m$
運動到離Y軸的最大距離${S}_{Y}^{\;}=3{x}_{1}^{\;}+R=3+\frac{2\sqrt{2}}{π}m$
答：（1）t=1s末，金屬小球速度的大小$2\sqrt{2}m/s$；
（2）1s～2s內(nèi)，金屬小球在磁場中做圓周運動的周期T為2s和半徑R為$\frac{2\sqrt{2}}{π}m$；
（3）6s內(nèi)金屬小球運動離X軸、Y軸的最大距離${S}_{X}^{\;}$為$\frac{4\sqrt{2}}{π}m$和${S}_{Y}^{\;}$為（$3+\frac{2\sqrt{2}}{π}$）m

點評 本題中粒子奇數(shù)秒內(nèi)做類似平拋運動，偶數(shù)秒內(nèi)做勻速圓周運動，關(guān)鍵是畫出運動軌跡并根據(jù)平拋運動規(guī)律和勻速圓周運動規(guī)律列式分析．