Question

16．如圖所示，在第一象限有一勻強(qiáng)電場，方向與y軸平行，在x軸下方有一垂直紙面的勻強(qiáng)磁場．一質(zhì)量為m，帶電量為q的粒子以平行x軸的速度v₀從y軸上的P點處射入電場，在x軸的Q點處進(jìn)入磁場，并從坐標(biāo)原點O處離開磁場．粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡與y軸交于M點．已知OP=l，OQ=$2\sqrt{3}l$．不計重力．求：
（1）M點到坐標(biāo)原點的距離
（2）粒子從Q運(yùn)動到M點所用的時間．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中做類平拋運(yùn)動，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式求出粒子射入磁場時速度方向與x軸方向的夾角．根據(jù)幾何關(guān)系求出M點與坐標(biāo)原點O間的距離．
（2）根據(jù)粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的圓心角求出粒子在磁場中的運(yùn)動時間，結(jié)合類平拋運(yùn)動的時間求出時間．

解答 解：（1）帶電粒子在電場中做類平拋運(yùn)動，在y軸負(fù)方向上做初速度為零的勻加速運(yùn)動，設(shè)加速度的大小為a；
在x軸正方向上做勻速直線運(yùn)動，設(shè)速度為v₀；粒子從P點運(yùn)動到Q點所用的時間為t₁，進(jìn)入磁場時速度方向與x軸正方向的夾角為θ，
由牛頓第二定律得：qE=ma…①
在電場中運(yùn)動的時間為：t₁=$\sqrt{\frac{2{y}_{0}}{a}}$．． ②
水平初速度：v₀=$\frac{{x}_{0}}{{t}_{1}}$…③
其中：x₀=2$\sqrt{3}$l，y₀=l，tanθ=$\frac{a{t}_{1}}{{v}_{0}}$…④
聯(lián)立②③④解得：θ=30°…⑤
由幾何關(guān)系知MQ為直徑，R=2$\sqrt{3}$l…⑥
MO=$\sqrt{M{Q}^{2}-O{Q}^{2}}$=$\sqrt{（2×2\sqrt{3}l）^{2}-（2\sqrt{3}l）^{2}}$=6l…⑦
（2）設(shè)粒子在磁場中運(yùn)動的速度為v，從Q到M點運(yùn)動的時間為t₂，則有
v=$\frac{{v}_{0}}{cosθ}$…⑧
t₂=$\frac{πR}{v}$…⑨
從Q點到M點所用的時間為：t₂=$\frac{3}{2}$π$\sqrt{\frac{2ml}{qE}}$；
（1）M點與坐標(biāo)原點的距離為6l；
（2）粒子從Q運(yùn)動到M點所用的時間為$\frac{3}{2}$π$\sqrt{\frac{2ml}{qE}}$．

點評 解決此類題目的關(guān)鍵是知道粒子在各個階段的運(yùn)動性質(zhì)，再分別應(yīng)用不同的知識去求解，可以先畫出草圖再分析；本題考查了求粒子運(yùn)動的距離、粒子運(yùn)動時間，分析清楚粒子運(yùn)動過程、作出粒子運(yùn)動軌跡是正確解題的前提與關(guān)鍵，應(yīng)用類平拋運(yùn)動規(guī)律、牛頓第二定律、粒子做圓周運(yùn)動的周期公式即可正確解題．