Question

7．如圖所示，一個(gè)邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形abcd，它是磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)橫截面的邊界線．一帶電粒子從ad邊的中點(diǎn)O垂直于磁場(chǎng)方向射入其速度方向與ad邊成θ=30°角，如圖，已知該帶電粒子所帶電荷量為+q質(zhì)量為m，重力不計(jì)，則（　　）

• A． 粒子恰好不從cd邊射出，軌道半徑最大值為L(zhǎng)
• B． 粒子從ab邊射出區(qū)域的最大長(zhǎng)度為$\frac{2}{3}$L
• C． 粒子恰好沒(méi)有從ab邊射出，該帶電粒子在磁場(chǎng)中飛行的時(shí)間為$\frac{3πm}{5Bq}$
• D． 帶電粒子從ad邊射出，粒子入射時(shí)的最大速度為$\frac{BqL}{3m}$

Answer 1

分析 帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．洛倫茲力提供向心力，可得半徑公式r=$\frac{mv}{qB}$，可知粒子的速度v越大，軌跡半徑r越大．粒子從ad邊射出磁場(chǎng)時(shí)，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡與ab相切時(shí)軌跡半徑最大，對(duì)應(yīng)的速度最大，根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑，再由牛頓第二定律求出對(duì)應(yīng)的最大速度，根據(jù)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角求解運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

解答 解：A．粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖1所示，軌跡恰好與cd邊相切，根據(jù)幾何關(guān)系可知粒子運(yùn)動(dòng)的半徑r=L，故A正確；
B．如圖2所示，設(shè)粒子從ab邊射出區(qū)域的最大長(zhǎng)度為△x，左右兩個(gè)臨界軌跡的半徑分別為r₁和r₂，ab邊左右兩側(cè)沒(méi)有粒子射出的區(qū)域長(zhǎng)度分別為△x₁與△x₂，左邊臨界軌跡根據(jù)幾何關(guān)系有：
$\frac{L}{2}$=r₁+r₁sin30°，
△x₁=r₁cos30°，
聯(lián)立得：△x₁=$\frac{\sqrt{3}}{6}$L；
右邊臨界軌跡根據(jù)幾何關(guān)系有：r₂（1+cos30°）=L，
可得：r₂=2（2-$\sqrt{3}$）L=EG
根據(jù)幾何關(guān)系可知：EF=aO-OH=（$\sqrt{3}$-$\frac{3}{2}$）L，
對(duì)△EFG運(yùn)用勾股定理可求出GF=$\sqrt{{（EG）}^{2}{-（EF）}^{2}}$，
根據(jù)幾何關(guān)系計(jì)算可得：△x₂=r₂-GF≈0.0529L，
所以△x=L-△x₁-△x₂≈0.658L＜$\frac{2}{3}$L=0.667L，故B錯(cuò)誤；
C．如圖2中小圓軌跡所示，由對(duì)稱關(guān)系可知粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角為300°，根據(jù)半徑公式r=$\frac{mv}{qB}$，周期公式T=$\frac{2πr}{v}$，聯(lián)立得T=$\frac{2πm}{qB}$，所以粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t=$\frac{300°}{360°}$T=$\frac{5}{6}$T=$\frac{3πm}{5qB}$，故C錯(cuò)誤；
D．如圖2中小圓軌跡所示，根據(jù)幾何關(guān)系可得$\frac{L}{2}$=r+rsin30°，可得r=$\frac{L}{3}$將其代入半徑公式得：r=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{BqL}{3m}$，故D正確．
故選：AD

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，要掌握粒子圓周運(yùn)動(dòng)的半徑公式，由幾何關(guān)確定圓心的位置，分析軌跡所對(duì)的圓心角以及周期公式來(lái)確定粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．解題的關(guān)鍵在于作圖的規(guī)范，大家一定要用尺規(guī)作圖，盡量不要徒手畫圓．