Question

如圖甲所示，兩平行金屬板A、B的板長(zhǎng)l＝0.20 m，板間距d＝0.20 m，兩金屬板間加如圖乙所示的交變電壓，并在兩板間形成交變的勻強(qiáng)電場(chǎng)，忽略其邊緣效應(yīng)。在金屬板右側(cè)有一方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其左右寬度D＝0.40 m，上下范圍足夠大，邊界MN和PQ均與金屬板垂直，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝1.0×10^－2 T。現(xiàn)從t＝0開(kāi)始，從兩極板左端的中點(diǎn)O處以每秒鐘1 000個(gè)的速率不停地釋放出某種帶正電的粒子，這些粒子均以v₀＝2.0×10⁵ m/s的速度沿兩板間的中線OO′射入電場(chǎng)，已知帶電粒子的比荷＝1.0×10⁸ C/kg，粒子的重力和粒子間的相互作用都忽略不計(jì)，在粒子通過(guò)電場(chǎng)區(qū)域的極短時(shí)間內(nèi)極板間的電壓可以看作不變。求：
（1）t＝0時(shí)刻進(jìn)入的粒子，經(jīng)邊界MN射入磁場(chǎng)和射出磁場(chǎng)時(shí)兩點(diǎn)間的距離；
（2）在電壓變化的第一個(gè)周期內(nèi)有多少個(gè)帶電的粒子能進(jìn)入磁場(chǎng)；
（3）何時(shí)由O點(diǎn)進(jìn)入的帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)？最長(zhǎng)時(shí)間為多少？（π≈3）

Answer 1

解：（1）t＝0時(shí)刻電壓為零，粒子勻速通過(guò)極板
由牛頓第二定律Bqv₀＝
得：r＝＝0.2m＜D
所以出射點(diǎn)到入射點(diǎn)的距離為s＝2r＝0.4m
（2）考慮臨界情況：粒子剛好不能射出電場(chǎng)
對(duì)類平拋過(guò)程：y＝at²＝，a＝，l＝v₀t
聯(lián)立解得U₀＝＝400 V
當(dāng)|u_AB|＜U₀時(shí)，粒子可以射出電場(chǎng)，根據(jù)比例關(guān)系得
第一個(gè)周期內(nèi)能夠出射的粒子數(shù)為n＝×1 000×T＝3 200個(gè)
（3）當(dāng)粒子向下偏轉(zhuǎn)，出射后恰好與磁場(chǎng)右邊界相切時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中的圓心角最大，時(shí)間最長(zhǎng)。設(shè)粒子在電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)角為θ：則
＝tanθ，v＝
磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)：Bqv＝
幾何關(guān)系r＋rsinθ＝D
聯(lián)立得：＝1＋sinθ＝
代入數(shù)據(jù)解得：sinθ＝0.6，即θ＝37°
又因?yàn)関_y＝·t＝v₀tan37°，l＝v₀t
解得：U＝300 V
所以對(duì)應(yīng)的入射時(shí)刻為t＝4n＋0.6（s）或t＝4n＋1.4（s）（n＝0、1、2…）
在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為Δt＝T＝≈4.2×10^－6 s