Question

4．載人航天飛行已成為人類探索太空的重要手段．由于地球在不斷的自轉(zhuǎn)，因而在發(fā)射宇宙飛船或衛(wèi)星時(shí)，可以利用地球的自轉(zhuǎn)以盡量減少發(fā)射人造飛船或衛(wèi)星時(shí)火箭所需的燃料，為此，國(guó)際社會(huì)目前正準(zhǔn)備在最理想的地點(diǎn)建立一個(gè)聯(lián)合發(fā)射中心．
（1）這個(gè)發(fā)射中心應(yīng)建在何處（供選地點(diǎn)：兩極、赤道、緯度45°處）？簡(jiǎn)述選擇理由．
（2）運(yùn)載火箭應(yīng)最終朝什么方向發(fā)送（供選方向：東、西、南、北）？簡(jiǎn)述選擇理由．
（3）今要在該中心發(fā)射一顆質(zhì)量為m的同步衛(wèi)星，已知萬有引力常量為G、地球的半徑為R、地球的質(zhì)量為M．要求同步衛(wèi)星離地面的高度，除了以上已知量外還要根據(jù)常識(shí)知道地球的什么物理量？并用這些量求出該高度；與地球沒有自轉(zhuǎn)相比，運(yùn)載火箭在發(fā)射過程中利用地球自轉(zhuǎn)最多可以節(jié)省的能量為多少？
（4）如要發(fā)射一顆質(zhì)量為m₀的探測(cè)器，讓它能夠飛離地球去探測(cè)其他行星，而不再靠近地球，忽略地球自轉(zhuǎn)、空氣阻力以及太陽和其他行星對(duì)它的影響，引力勢(shì)能的表達(dá)式為E_P=-G$\frac{Mm}{r}$．利用（3）中的已知量，求出它在地球表面至少應(yīng)該獲得多少能量？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線速度與半徑的關(guān)系，結(jié)合功能關(guān)系即可求解；
（2）根據(jù)地球自轉(zhuǎn)的方向，來確定求解；
（3）根據(jù)萬有引力提供向心力，從而求解；為了盡量節(jié)省發(fā)射衛(wèi)星時(shí)需的能量，可以借助地球的自轉(zhuǎn)．節(jié)省的能量就是由于地球自轉(zhuǎn)而獲得的動(dòng)能．
（4）根據(jù)機(jī)械能守恒，寫出表達(dá)式即可求解．

解答 解：（1）發(fā)射中心的地點(diǎn)應(yīng)選在赤道處．因?yàn)榈厍虺嗟捞幾赞D(zhuǎn)的線速度最大，由于慣性衛(wèi)星具有的初動(dòng)能最多，所以最節(jié)省能量．
（2）運(yùn)載火箭最終應(yīng)朝東發(fā)送．因?yàn)榈厍蜃赞D(zhuǎn)的方向是自西向東的．
（3）地球的自轉(zhuǎn)周期T=24小時(shí)
對(duì)同步衛(wèi)星有：$G\frac{Mm}{r^2}=mr{（\frac{2π}{T}）^2}$
得$r=\root{3}{{\frac{{GM{T^2}}}{{4{π^2}}}}}$
同步衛(wèi)星離地面的高度$H=r-R=\root{3}{{\frac{{GM{T^2}}}{{4{π^2}}}}}-R$
節(jié)省的能量即為在地面時(shí)衛(wèi)星隨地球自轉(zhuǎn)具有的動(dòng)能$E=\frac{1}{2}m{v^2}=\frac{1}{2}m{（\frac{2πR}{T}）^2}$
（4）由機(jī)械能守恒  $0=-G\frac{{M{m_0}}}{R}+{E_k}$
得：${E_k}=G\frac{{M{m_0}}}{R}$
答：（1）發(fā)射中心的地點(diǎn)應(yīng)選在赤道處．因?yàn)榈厍虺嗟捞幾赞D(zhuǎn)的線速度最大，由于慣性衛(wèi)星具有的初動(dòng)能最多，所以最節(jié)省能量．
（2）運(yùn)載火箭最終應(yīng)朝東發(fā)送．因?yàn)榈厍蜃赞D(zhuǎn)的方向是自西向東的．
（3）除了以上已知量外還要根據(jù)常識(shí)知道地球的自轉(zhuǎn)周期為24小時(shí)；與地球沒有自轉(zhuǎn)相比，運(yùn)載火箭在發(fā)射過程中利用地球自轉(zhuǎn)最多可以節(jié)省的能量是$\frac{1}{2}m{（\frac{2πR}{T}）}^{2}$；
（4）探測(cè)器在地球表面至少應(yīng)該獲得的能量為$G\frac{M{m}_{0}}{R}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵要理解衛(wèi)星的發(fā)射是利用了地球的自轉(zhuǎn)，節(jié)省了發(fā)射所需要的能量．對(duì)于估算問題，要利用常識(shí)和物理模型結(jié)合解答．