Question

（2013?濟南一模）利用彈簧彈射和皮帶傳動裝置可以將工件運送至高處．如圖所示，已知傳送軌道平面與水平方向成37°角，傾角也是37°的光滑斜面軌道固定于地面且與傳送軌道良好對接，彈簧下端固定在斜面底端，工件與皮帶間的動摩擦因數(shù)μ=0.25．皮帶傳動裝置順時針勻速轉動的速度v=4m/s，兩輪軸心相距L=5m，B、C分別是傳送帶與兩輪的切點，輪緣與傳送帶之間不打滑．現(xiàn)將質量m=lkg的工件放在彈簧上，用力將彈簧壓縮至A點后由靜止釋放，工件離開斜面頂端滑到皮帶上的B點時速度v₀=8m/s，AB間的距離s=lm．工件可視為質點，g取l0m/s²．  （sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）彈簧的最大彈性勢能
（2）工件沿傳送帶上滑的時間
（3）若傳送裝置順時針勻速轉動的速度v可在v＞4m/s的范圍內調節(jié)，試推導工件滑動到C點時的速度v_c隨速度v變化的關系式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)工件離開斜面頂端滑到皮帶上的B點時速度v₀=8m/s，AB間的距離s=lm，通過能量守恒定律求出彈簧的最大彈性勢能．
（2）因為μ＜tan37°，當工件速度減為傳送帶速度時，又以不同的加速度向上減速，根據(jù)牛頓第二定律求出兩次勻減速直線運動的加速度，然后根據(jù)運動學公式求出上滑的總時間．
（3）當傳送帶速度在4m/s＜v＜8m/s的范圍內調節(jié)時，工件先以加速度a₁減速向上滑行，再以加速度a₂減速向上滑行，根據(jù)運動學公式求出工件滑動到C點時的速度v_c隨速度v變化的關系式．
當傳送帶的速度v≥8m/s的范圍內調節(jié)時，工件將沿傳送帶以加速度a₂減速滑行到C點，根據(jù)運動學公式求出工件滑動到C點時的速度v_c隨速度v變化的關系式．

解答：解：（1）彈簧的最大彈性勢能為Ep=mgssin37°+

1

2

mv02
解得E_P=38J．
（2）工件沿傳送軌道減速向上滑動的過程中有：mgsin37°+μmgcos37°=ma₁
與傳送帶共速需要的時間t1=

v0-v

a1

=0.5s．
工件滑行的位移大小s1=

v02-v2

2a1

=3m＜L．
因為μ＜tan37°，所以工件將沿傳送帶繼續(xù)減速上滑．
mgsin37°-μmgcos37°=ma₂
假設工件速度減為零時，工件未從傳送帶上滑落，則t2=

v

a2

=1s．
工件滑行的位移大小s2=

v2

2a2

=2m=L-s1
故假設成立，工件沿傳送帶上滑的時間t=t₁+t₂=1.5s．
（3）當傳送帶速度在4m/s＜v＜8m/s的范圍內調節(jié)時，工件先以加速度a₁減速向上滑行s1′=

v02-v2

2a1

．
當速度減到v后又以加速度a₂減速向上滑行L-s1′=

v2-vC2

2a2

工件滑動C點的速度v_C隨速度v的變化關系式vc=

v2 2 -8

當傳送帶的速度v≥8m/s的范圍內調節(jié)時，工件將沿傳送帶以加速度a₂減速滑行到C點
vc2-v02=2a2L
工件滑動到C點的速度v_c隨速度v變化的關系式vc=2

6

m/s．
答：（1）彈簧的最大彈性勢能為38J．
（2）工件沿傳送帶上滑的時間為1.5s．
（3）當傳送帶速度在4m/s＜v＜8m/s時，工件滑動C點的速度v_C隨速度v的變化關系式vc=

v2 2 -8

，當傳送帶的速度v≥8m/s時，工件滑動到C點的速度v_c隨速度v變化的關系式vc=2

6

m/s．

點評：解決本題的關鍵理清工件的運動情況，通過牛頓第二定律和運動學公式進行求解．