Question

（2013?威海模擬）如圖甲所示，兩個完全相同的平行板電容器PQ和MN，板間距離為d，極板長為L，極板厚度不計．將它們置于圖示方向足夠大的勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀，兩電容器極板的左端和右端分別對齊，兩電容器極板所加電壓值相同．一質(zhì)量為m、電荷量為+q、重力不計的粒子從極板P、Q間的中軸線O₁O₂左邊緣的O₁點(diǎn)，以速度v₀沿O₁O₂勻速穿過電容器PQ，經(jīng)過磁場偏轉(zhuǎn)后沿極板M、N的中軸線O₃O₄做勻速直線運(yùn)動，又經(jīng)過磁場回到O₁點(diǎn)，如此循環(huán)往復(fù)．不計電容器之外的電場對粒子運(yùn)動的影響．求：
（1）極板P、Q，M、N間所加電壓的數(shù)值U．
（2）Q板和M板間的距離x．
（3）粒子從O₁點(diǎn)開始運(yùn)動到再次回到O₁點(diǎn)所用的時間．
（4）若撤去電容器上所加的電壓，將原磁場換作按圖乙規(guī)律變化的磁場，取垂直紙面向里為磁場的正方向．粒子仍從O₁點(diǎn)沿O₁O₂在0時刻以速度v₀進(jìn)入電容器PQ，在t₀時刻恰好從P板右邊緣水平射出（t₀為未知量）．則B₁為多少？

Answer 1

分析：（1）正電荷在PQ間做勻速直線運(yùn)動，受洛倫茲力和電場力，根據(jù)平衡條件列式；然后根據(jù)U=Ed列式；最后聯(lián)立求解；
（2）正電荷在磁場中做勻速圓周運(yùn)動時，由洛倫茲力提供向心力，列式求得軌跡的半徑，即可由幾何關(guān)系得到x應(yīng)滿足的條件；
（3）粒子運(yùn)動一周，先根據(jù)T=

2πm

qB

和t=

θ

2π

T求解磁場中運(yùn)動時間；再根據(jù)t=

2L

v0

求解復(fù)合場中運(yùn)動的時間；最后相加即可；
（4）畫出運(yùn)動軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系求解出軌道半徑；然后根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式，求解出磁感應(yīng)強(qiáng)度．

解答：解：（1）做勻速直線運(yùn)動時，正電荷受到的電場力與受到的磁場力平衡，有：
qE=qv₀B₁
勻強(qiáng)電場中：
E=

U

d

則：U=B₀v₀d；
（2）電荷在磁場中的運(yùn)動：
qv0B0=m

v 2 0

r

則正電荷做圓周運(yùn)動的半徑為：
r=

mv0

qB0

x=2r-d
則：x=

2mv0

qB 0

-d；
（3）由公式T=

2πr

v0

得：
T=

2πm

qB0

粒子在磁場中運(yùn)動的總時間為：
t₁=T=

2πm

qB0

粒子在兩平行板間運(yùn)動的總時間為：
t₂=2

L

v0

粒子運(yùn)動的總時間為：
t=t₁+t₂=

2πm

qB0

+

2L

v0

；
（4）由幾何知識可知：

r

2 1

=(r1-

d

4

)2+(

L

2

)2
又洛倫茲力提供向心力，有：
qv0B1=m

v 2 0

r1

聯(lián)立解得：B1=

8mv0d

q(d2+4L2)

；
答：（1）極板P、Q，M、N間所加電壓的數(shù)值U為B₀v₀d．
（2）Q板和M板間的距離x為

2mv0

qB 0

-d．
（3）粒子從O₁點(diǎn)開始運(yùn)動到再次回到O₁點(diǎn)所用的時間為

2πm

qB0

+

2L

v0

．
（4）B₁為

8mv0d

q(d2+4L2)

．

點(diǎn)評：本題關(guān)鍵是明確粒子的運(yùn)動規(guī)律，然后分勻速圓周運(yùn)動和勻速直線運(yùn)動階段進(jìn)行討論，不難．