Question

（2010?徐州三模）2009年12月24日，美國(guó)的一個(gè)研究小組宣布，他們?cè)谏叻蛐亲�中發(fā)現(xiàn)一顆富含水份的行星“GJl214b”．“GJl214b”距離地球約40光年，體積約為地球的2.7倍，質(zhì)量約是地球的6.5倍，環(huán)繞著一顆比太陽(yáng)小且溫度低的紅矮星運(yùn)行，軌道半徑為209萬(wàn)公里，公轉(zhuǎn)周期為38小時(shí)．已知地球半徑為6400km，地球表面的重力加速度為9.8m/s²，引力常量G為6.67×10^-11N?m²?kg^-2．由以上信息可估算出（　　）

A．紅矮星的質(zhì)量

B．紅矮星的密度

C．“GJl214b”行星的質(zhì)量

D．“GJl214b”行星的密度

Answer 1

分析：（1）據(jù)已知先從行星繞紅矮星公轉(zhuǎn)入手，通過(guò)萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力和圓周運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可尋求紅矮星質(zhì)量和已知常量的關(guān)系可計(jì)算相關(guān)要素；
（2）據(jù)地球表面萬(wàn)有引力充當(dāng)重力可估算出地球的體積和質(zhì)量，進(jìn)而通過(guò)已知求出該行星的質(zhì)量和密度．

解答：解：設(shè)紅矮星的質(zhì)量為M，體積為S₁；地球的質(zhì)量為m，體積為S，半徑為r=6400km，表面重力加速度為g=9.8m/s²；則“GJl214b”行星的質(zhì)量為6.5m，體積為2.7S，繞紅矮星軌道半徑為R=209萬(wàn)公里，向心力為F，公轉(zhuǎn)速度為V，公轉(zhuǎn)周期為T(mén)=38小時(shí)；
   （1）據(jù)“GJl214b”行星的公轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)和萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力，
    可得    F=G

6.5mM

R2

=6.5m

V2

R

                           ①
   另?yè)?jù)公轉(zhuǎn)速度   V=

2πR

T

                                   ②
   把②代入①可得紅矮星的質(zhì)量   M=

4πR3

GT2

     （其中R、T、G均為常量，直接代入數(shù)字即可估算出紅矮星的質(zhì)量）    ③
   紅矮星的密度=

M

S1

=

4πR3

GT2S1

            （其中S₁為未知量，無(wú)法估算出紅矮星的密度）                            ④
  （2）設(shè)地球表面一物體質(zhì)量為m₁，
   據(jù)萬(wàn)有引力充當(dāng)重力得  m1g=G

mm1

r2

    轉(zhuǎn)換得 m=

gr2

G

                        ⑤
   地球的體積      S=

4πr3

3

                                                      ⑥
   則“GJl214b”行星的質(zhì)量=6.5m=

6.5gr2

G

  （直接代入即可估算出行星的質(zhì)量）      ⑦
“GJl214b”行星的體積=2.7S=

2.7×4πr3

3

（為常量，代入即可估算體積）           ⑧
   由③⑦⑧可知選項(xiàng) ACD正確，由④可知選項(xiàng) B錯(cuò)誤
故選 ACD．

點(diǎn)評(píng)：題目并不難，唯一的就是變量和常量太多容易混淆．以后遇到此種題目，注意對(duì)運(yùn)動(dòng)情景拆解成較為簡(jiǎn)單的分情景，分別分析，一般就比較簡(jiǎn)單了．