Question

9．半徑為R=0.8m的光滑絕緣導軌固定于豎直平面內，加上某一方向的勻強電場后，帶電小球沿軌道內側做圓周運動．小球動能的最大位置在A點，圓心O與A點的連線與豎直方向的夾角為θ，如圖所示．在A點時小球對軌道的壓力F_N=120N，若小球的最大動能比最小動能多32J．且小球能夠到達軌道上的任意一點（不計空氣阻力）．試求：
（1）小球最小動能等于多少？
（2）若小球在動能最小位置時突然撤去軌道，并保持其它量不變，則小球經0.04s后，其動能與在A點時動能相等，小球的質量是多少？

Answer 1

分析 （1）帶電小球沿軌道內側做圓周運動，受到重力和電場力作用，其合力是恒力，當合力沿OA連線向下時，小球通過A點時動能最大，通過關于O點對稱的B點時動能最小．根據動能定理研究小球從B運動到A點的過程，求出重力與電場力的合力大�。�根據牛頓第二定律和動能的計算式求出A點的動能，再求出小球的最小動能；
（2）在B點撤去軌道后，小球將做類平拋運動，由題，小球經0.04s時，其動能與在A點時的動能相等，說明小球經0.04s時偏轉量等于2R，由位移公式和牛頓第二定律結合求出質量．

解答 解：（1）小球在電場和重力場的復合場中運動，因為小球在A點具有最大動能，
所以復合場的方向由O指向A，在AO延長線與圓的交點B處小球具有最小動能E_kB．
設小球在復合場中所受的合力為F，則有：N-F=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$，即：120-F=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{0.8}$，
帶電小球由A運動到B的過程中，重力和電場力的合力做功，根據動能定理有：
-F•2R=E_KB-E_KA=-32，由此可得：F=20N，E_KB=8J，
即小球的最小動能為8J，重力和電場力的合力為20N．
（2）帶電小球在B處時撤去軌道后，小球做類平拋運動，
即在BA方向上做初速度為零的勻加速運動，在垂直于BA方向上做勻速運動．
設小球的質量為m，則：2R=$\frac{1}{2}$$\frac{F}{m}$t²，解得：m=0.01kg；
答：（1）小球最小動能等于8J；
（2）小球的質量為0.01kg．

點評 本題可以運用豎直平面內繩子系住的小球運動進行類比，A相當于物理的最低點，B相當于物理的最高點．