Question

【題目】如圖，用一根長(zhǎng)為L(zhǎng)＝1m的細(xì)線，一端系一質(zhì)量為m＝1kg的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），另一端固定在一光滑錐體頂端，錐面與豎直方向的夾角θ＝37°，當(dāng)小球在水平面內(nèi)繞錐體的軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為ω時(shí)，細(xì)線的張力為T(mén)。求（g＝10m/s2，sin370=3/5,cos370=4/5,計(jì)算結(jié)果可用根式表示）：

（1）若要小球離開(kāi)錐面，則小球的角速度ω0至少為多大？

（2）若細(xì)線與豎直方向的夾角為60°，則小球的角速度ω＇為多大？

（3）細(xì)線的張力T與小球勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的加速度ω有關(guān)，當(dāng)ω的取值范圍在0到ω＇之間時(shí)，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算求解T與ω2的關(guān)系，并在坐標(biāo)紙上作出T—ω2的圖象，標(biāo)明關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)值。

Answer 1

【答案】（1）12．5rad/s（2）（3）見(jiàn)解析圖

【解析】

試題分析：（1）小球剛要離開(kāi)錐面時(shí)的速度，此時(shí)支持力為零，根據(jù)牛頓第二定律得：mgtanθ＝mω02lsinθ

解得

（2）若細(xì)線與豎直方向的夾角為60°時(shí)，小球離開(kāi)錐面，由重力和細(xì)線拉力的合力提供向心力，由牛頓第二定律得：mgtan60°=mω′2lsin60°

得，

（3）a．當(dāng)ω1=0時(shí) T1=mgcosθ=8N，標(biāo)出第一個(gè)特殊點(diǎn)坐標(biāo)（ 0，8N）；

b．當(dāng)0＜ω＜rad/s時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律得：TsinθNcosθ＝mω 2lsinθ

Tcosθ+Nsinθ＝mg

得，T＝mgcosθ+mlω2sin2θ＝8+ω2

當(dāng)ω2＝rad/s時(shí)，T2=12．5N 標(biāo)出第二個(gè)特殊點(diǎn)坐標(biāo)[12．5（rad/s）2，12．5N]；

c．當(dāng)rad/s≤ω≤rad/s時(shí)，小球離開(kāi)錐面，設(shè)細(xì)線與豎直方向夾角為β

T3sinβ＝mω2lsinβ

∴T3＝mlω2

當(dāng)ω＝ω′＝rad/s時(shí)，T3=20N

標(biāo)出第三個(gè)特殊點(diǎn)坐標(biāo)[20（rad/s）2，20N]．

畫(huà)出T-ω2圖象如圖所示．