Question

（12分）如圖所示，在坐標(biāo)系xOy中，y軸右側(cè)有一勻強(qiáng)電場(chǎng)；在第二、三象限內(nèi)有一有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其上、下邊界無限遠(yuǎn)，右邊界為y軸、左邊界為平行于y軸的虛線，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里。一帶正電，電量為q、質(zhì)量為m的粒子以某一速度自磁場(chǎng)左邊界上的A點(diǎn)射入磁場(chǎng)區(qū)域，并從O點(diǎn)射出，粒子射出磁場(chǎng)的速度方向與x軸的夾角θ＝45°，大小為v．粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡為紙面內(nèi)的一段圓弧，且弧的半徑為磁場(chǎng)左右邊界間距的倍。粒子進(jìn)入電場(chǎng)后，在電場(chǎng)力的作用下又由O點(diǎn)返回磁場(chǎng)區(qū)域，經(jīng)過一段時(shí)間后再次離開磁場(chǎng)。已知粒子從A點(diǎn)射入到第二次離開磁場(chǎng)所用的時(shí)間恰好等于粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期。忽略重力的影響。求：

（1）粒子經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)速度的方向和A點(diǎn)到x軸的距離；
（2）勻強(qiáng)電場(chǎng)的大小和方向；
（3）粒子從第二次離開磁場(chǎng)到再次到達(dá)磁場(chǎng)所用的時(shí)間。

Answer 1

（1）（2）
（3）勻強(qiáng)電場(chǎng)的方向與x軸正向夾角應(yīng)為135º

試題分析：（1）設(shè)磁場(chǎng)左邊界與x軸相交于D點(diǎn)，過O點(diǎn)作速度v垂線OO₁，與MN相交于O₁點(diǎn)。由幾何關(guān)系可知，在直角三角形OO₁D中∠OO₁D =45º。設(shè)磁場(chǎng)左右邊界間距為d，則OO₁=d。
故，粒子第一次進(jìn)入磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心即為O₁點(diǎn)，圓孤軌跡所對(duì)的圓心角為45º，且O₁A為圓弧的半徑R。
由此可知，粒子自A點(diǎn)射入磁場(chǎng)的速度與左邊界垂直。
A點(diǎn)到x軸的距離：
    ①
由洛侖茲力公式、牛頓第二定律及圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，得
      ②
聯(lián)立①②式得
     ③
（2）

依題意：勻強(qiáng)電場(chǎng)的方向與x軸正向夾角應(yīng)為135º。
設(shè)粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，第一次在磁場(chǎng)中飛行的時(shí)間為t₁，有
      ④
      ⑤
由幾何關(guān)系可知，粒子再次從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)的速度方向與磁場(chǎng)右邊夾角為45º。設(shè)粒子第二次在磁場(chǎng)中飛行的圓弧的圓心為O₂，O₂必定在直線OO₁上。設(shè)粒子射出磁場(chǎng)時(shí)與磁場(chǎng)右邊界交于P點(diǎn)，則∠OO₂P=90º。設(shè)粒子第二次進(jìn)入磁場(chǎng)在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₂，有
      ⑥
設(shè)帶電粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t3，依題意得
     ⑦
由勻變速運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和牛頓定律可知
     ⑧
     ⑨
聯(lián)立④⑤⑥⑦⑧⑨可得
       ⑩
（3）由幾何關(guān)系可得：
故粒子自P點(diǎn)射出后將做類平拋運(yùn)動(dòng)。
則沿電場(chǎng)方向做勻加速運(yùn)動(dòng)：
        ⑾
垂直電場(chǎng)方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)：
       ⑿
      ⒀
聯(lián)立⑨⑩⑿⒀式得