Question

14．據報道，一兒童玩耍時不慎從20m高的陽臺上無初速度掉下，在他剛掉下時恰被樓下一社區(qū)管理人員發(fā)現(xiàn)，該人員迅速由靜止沖向兒童下落處的正下方樓底，準備接住兒童，已知管理人員到樓底的距離為10m，為確保能穩(wěn)妥安全接住兒童，管理人員將盡力節(jié)約時間，但又必須保證接住兒童時沒有水平方向的沖擊，不計空氣阻力，將兒童和管理人員都看做質點，設管理人員奔跑過程中只做勻速或勻變速運動，g=10m/s²
（1）管理人員至少用多大的平均速度跑到樓底；
（2）若管理人員在奔跑過程中做勻加速或勻減速運動的加速度大小相等，且最大速度不超過9m/s，求管理人員奔跑時加速度的大小需滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）根據位移時間公式求出兒童自由落體運動的時間，結合位移和時間求出管理人員的最小平均速度．
（2）根據運動學公式判斷出管理人員先加速、后勻速、再減速過程，抓住總位移和總時間，結合運動學公式求出管理人員奔跑時的加速度大小．

解答 解：（1）兒童下落過程，由運動學公式可得：$h=\frac{1}{2}g{t}_{0}^{2}$…①
管理人員奔跑的時間為：$t≤{t}_{0}^{\;}$…②
對管理人員奔跑過程，由運動學公式有：$s=\overline{v}t$…③
聯(lián)立可得：$\overline{v}≥5m/s$
（2）假設管理人員先勻加速接著勻減速奔跑到樓底，奔跑過程中的最大速度為${v}_{0}^{\;}$
由運動學公式可得$\overline{v}=\frac{0+{v}_{0}^{\;}}{2}$，解得：${v}_{0}^{\;}=2\overline{v}=10m/s＞{v}_{max}^{\;}=9m/s$，再勻速，最后勻減速奔跑到樓底，
設勻加速、勻速、勻減速過程的時間分別為：${t}_{1}^{\;}、{t}_{2}^{\;}、{t}_{3}^{\;}$，位移分別為${s}_{1}^{\;}、{s}_{2}^{\;}、{s}_{3}^{\;}$
由運動學公式可得${s}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$…④，
${s}_{3}^{\;}=\frac{1}{2}a{t}_{3}^{2}$…⑤，
${s}_{2}^{\;}={v}_{max}^{\;}{t}_{2}^{\;}$…⑥
${v}_{max}^{\;}=a{t}_{1}^{\;}=a{t}_{3}^{\;}$…⑦，
${t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}+{t}_{3}^{\;}≤{t}_{0}^{\;}$…⑧，
${s}_{1}^{\;}+{s}_{2}^{\;}+{s}_{3}^{\;}=s$，
由④～⑨解得：$a≥\frac{81}{8}m/{s}_{\;}^{2}$
答：（1）管理人員至少用5m/s的平均速度跑到樓底；
（2）若管理人員在奔跑過程中做勻加速或勻減速運動的加速度大小相等，且最大速度不超過9m/s，管理人員奔跑時加速度的大小需滿足條件$a≥\frac{81}{8}m/{s}_{\;}^{2}$

點評 解決本題的關鍵理清管理人員在整個過程中的運動規(guī)律，抓住總時間和總位移，結合運動學規(guī)律靈活求解，難度中等．