Question

如圖甲所示，長、寬分別為L₁、L₂的矩形金屬線框位于豎直平面內(nèi)，其匝數(shù)為n，總電阻為r，可繞其豎直中心軸O₁O₂轉動．線框的兩個末端分別與兩個彼此絕緣的銅環(huán)C、D（集流環(huán)）焊接在一起，并通過電刷和定值電阻R相連．線框所在空間有水平向右均勻分布的磁場，磁感應強度B的大小隨時間t的變化關系如圖乙所示，其中B₀、B₁和t₁均為已知．在0～t₁的時間內(nèi)，線框保持靜止，且線框平面和磁場垂直；t₁時刻后線框在外力的驅動下開始繞其豎直中心軸以角速度ω勻速轉動．求：
（1）0～t₁時間內(nèi)通過電阻R的電流大小；
（2）線框勻速轉動后，在轉動一周的過程中電流通過電阻R產(chǎn)生的熱量；
（3）線框勻速轉動后，從圖甲所示位置轉過90°的過程中，通過電阻R的電荷量．
（4）當線圈平面與中性面夾角為π/3時，感應電動勢為多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)法拉第電磁感應定律求出0～t₁時間內(nèi)感應電動勢，再根據(jù)閉合電路歐姆定律求出通過電阻R的電流大小．
（2）根據(jù)E=nBSω求出感應電動勢的最大值，從而求出感應電動勢的有效值，根據(jù)歐姆定律求出感應電流的有效值，從而根據(jù)Q=I²Rt求出電阻R產(chǎn)生的熱量．
（3）根據(jù)法拉第電磁感應定律結合閉合電路歐姆定律求出平均感應電流，根據(jù)q=

.

I

t求出通過電阻R的電荷量．
（4）通過從中性面開始計時感應電動勢的表達式，求出線圈平面與中性面夾角為

π

3

時，感應電動勢的大�。�

解答：解：（1）0～t₁時間內(nèi)，線框中的感應電動勢E=n

△Φ

△t

=

nL1L2(B1-B0)

t1

．
根據(jù)閉合電路歐姆定律得，通過電阻R的電流
I=

E

R+r

=

nL1L2(B1-B0)

(R+r)t1

（2）線框產(chǎn)生的感應電動勢的最大值E_m=nB₁L₁L₂ω
感應電動勢的有效值E=

2

2

nB1L1L2ω
通過電阻R的電流有效值I=

2 nB1L1L2ω

2(R+r)

線框轉動一周所需的時間t=

2π

ω

．
此過程中，電阻R產(chǎn)生的熱量Q=I2Rt=πRω(

nB1L1L2

R+r

)2．
（3）線框從圖甲所示位置轉過90°的過程中，
平均感應電動勢

.

E

=n

△Φ．

△t

=

nB1L1L2

△t

平均感應電流

.

I

=

nB1L1L2

△t(R+r)

流過電阻R的電荷量q=

.

I

△t=

nB1L1L2

R+r

．
（4）從中性面開始計時感應電動勢的瞬時表達式為E=E_msinωt
當線圈平面與中性面夾角為

π

3

時，即ωt=

π

3

，則E=

3

2

nB1L1L2ω．
答：（1）0～t₁時間內(nèi)通過電阻R的電流大小為

nL1L2(B1-B0)

(R+r)t1

．
（2）線框勻速轉動后，在轉動一周的過程中電流通過電阻R產(chǎn)生的熱量為πRω(

nB1L1L2

R+r

)2．
（3）通過電阻R的電荷量為

nB1L1L2

R+r

．
（4）當線圈平面與中性面夾角為π/3時，感應電動勢為

3

2

nB1L1L2ω．

點評：解決本題的關鍵掌握感應電動勢的平均值、最大值、有效值和瞬時值的區(qū)別以及應用．