Question

7．如圖，在傾角為30°，斜面長(zhǎng)為10m的光滑斜面頂端有一個(gè)小球，讓它從靜止開(kāi)始釋放，與垂直于斜邊的檔板反復(fù)相撞，每次相撞小球均以撞前速度大小的一半的速度反彈，試求：
（1）小球運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間．
（2）小球運(yùn)動(dòng)的總路程．（g取10m/s²）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求得小球運(yùn)動(dòng)的加速度，由速度公式和撞板前后速度關(guān)系列式，求解總時(shí)間．
（2）根據(jù)位移時(shí)間公式求解總路程．

解答 解：（1）小球在光滑上運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大小為 a=$\frac{mgsin30°}{m}$=gsin30°=5m/s²．
由 x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$，得小球第一次下滑的時(shí)間 t₁=$\sqrt{\frac{2x}{a}}$=$\sqrt{\frac{2×10}{5}}$=2s
第一次撞板前瞬間的速度大小 v₁=at₁=5×2=10m/s，第一次撞板后瞬間的速度大小 v₁′=$\frac{1}{2}$v₁=5m/s
第一次撞板后到第二次撞板前在斜面上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 t₂=$\frac{2{v}_{1}^{′}}{a}$=$\frac{2×5}{5}$=2s
第二次撞板前瞬間的速度大小 v₂=a•$\frac{1}{2}$t₂=5×1=5m/s，第二次撞板后瞬間的速度大小 v₂′=$\frac{1}{2}$v₂=$\frac{1}{4}{v}_{1}$
第二次撞板后到第三次撞板前在斜面上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 t₃=$\frac{2{v}_{2}′}{a}$=$\frac{{v}_{1}′}{a}$=$\frac{1}{2}$t₂
第三次撞板前瞬間的速度大小 v₃=a•$\frac{1}{2}$t₃=5×$\frac{1}{2}$=2.5m/s，第三次撞板后瞬間的速度大小 v₃′=$\frac{1}{2}$v₃=（$\frac{1}{2}$）³v₁′
第三次撞板后到第四次撞板前在斜面上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 t₄=$\frac{2{v}_{3}′}{a}$=$\frac{2×（\frac{1}{2}）^{3}{v}_{1}^{′}}{a}$=（$\frac{1}{2}$）² t₂
…
第n-1次撞板后到第n次撞板前在斜面上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 t_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ t₂
所以總時(shí)間為 t=t₁+t₂+t₃…t_n=t₁+$\frac{{t}_{2}}{1-\frac{1}{2}}$=2+$\frac{2}{1-\frac{1}{2}}$=6s
（2）小球運(yùn)動(dòng)的總路程為 S=x+2×$\frac{{v}_{1}^{′2}}{2a}$+2×$\frac{{v}_{2}^{′2}}{2a}$+2×$\frac{{v}_{3}^{′2}}{2a}$+…=x+2×$\frac{{v}_{1}^{′2}}{2a}$+2×（$\frac{1}{2}$）²•$\frac{{v}_{1}^{′2}}{2a}$+（$\frac{1}{2}$）⁴•$\frac{{v}_{1}^{′2}}{2a}$+…=x+2×$\frac{\frac{{v}_{1}^{′2}}{2a}}{1-（\frac{1}{2}）^{2}}$=10+2×$\frac{\frac{{5}^{2}}{2×5}}{1-0.25}$=$\frac{50}{3}$m
答：
（1）小球運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間是6s．
（2）小球運(yùn)動(dòng)的總路程是$\frac{50}{3}$m．

點(diǎn)評(píng) 本題是物理中數(shù)列問(wèn)題，關(guān)鍵要根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式推導(dǎo)出時(shí)間和路程的解析式，運(yùn)用歸納法研究規(guī)律．