Question

1．如圖所示，傾角為30°的粗糙斜面軌道AB與半徑R=0.4m的光滑軌道BDC在B點平滑相連，兩軌道處于同一豎直平面內(nèi)，O點為圓軌道圓心，DC為圓軌道直徑且處于豎直方向，A、C兩點等高，E、O兩點等高．∠BOD=30°，質(zhì)量m=2kg的滑塊從A點以速度v₀（未知）沿斜面下滑，剛好能通過C點，滑塊與斜面AB間動摩擦因數(shù)μ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，g取10m/s²．求：
（1）滑塊經(jīng)過E點時對軌道的壓力；
（2）滑塊從A點滑下時初速度v₀的大小．

Answer 1

分析 （1）滑塊剛好能通過C點，在C點由重力提供向心力，由牛頓第二定律可求得滑塊通過C點的速度．從E到C的過程，運用機械能守恒定律可求得滑塊通過E點的速度．在E點，由軌道的支持力提供向心力，由牛頓運動定律求塊經(jīng)過E點時對軌道的壓力；
（2）研究從A到C的過程，由動能定理求滑塊從A點滑下時初速度v₀的大小．

解答 解：（1）滑塊剛好能通過C點，在C點由重力提供向心力，由牛頓第二定律得
    mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
可得 v_C=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×0.4}$=2m/s
滑塊從E到C過程，根據(jù)機械能守恒定律得 mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$
在E點，由牛頓第二定律得 N=m$\frac{{v}_{E}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得 N=3mg=3×2×10N=60N
根據(jù)牛頓第三定律可知，滑塊經(jīng)過E點時對軌道的壓力 N′=N=60N
（2）設(shè)AB長為L，則有 Lsin30°=R+Rcos30°
可得 L=（0.8+0.4$\sqrt{3}$）m
滑塊從A到C過程，根據(jù)動能定理有：
-μmgcos30°•L=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得 v₀=$\sqrt{16+6\sqrt{3}}$m/s
答：（1）滑塊經(jīng)過E點時對軌道的壓力是60N；
（2）滑塊從A點滑下時初速度v₀的大小是$\sqrt{16+6\sqrt{3}}$m/s．

點評 本題是機械能守恒定律、動能定理與向心力及幾何知識的綜合應用，關(guān)鍵要注意挖掘隱含的臨界條件，知道小球通過豎直平面圓軌道最高點時，重力恰好提供向心力．