Question

如圖所示，空間分布著有理想邊界的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，已知左側(cè)勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為E、方向水平向右，其寬度為L(zhǎng)；中間區(qū)域勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直紙面向外；右側(cè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小也為B、方向垂直紙面向里．一個(gè)帶正電的粒子（質(zhì)量為m、電荷量為q，不計(jì)重力）從電場(chǎng)左邊緣a點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動(dòng)，穿過中間磁場(chǎng)區(qū)域進(jìn)入右側(cè)磁場(chǎng)區(qū)域后，又回到了a點(diǎn)，然后重復(fù)上述運(yùn)動(dòng)過程．求：
（1）中間磁場(chǎng)區(qū)域的寬度d．
（2）帶電粒子從a點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到第一次回到a點(diǎn)時(shí)所用的時(shí)間t．

Answer 1

分析：（1）帶正電的粒子在電場(chǎng)中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，垂直進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)動(dòng)能定理即可求解帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速率；粒子在磁場(chǎng)中由洛倫茲力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律求出軌跡的半徑．根據(jù)幾何關(guān)系求解中間磁場(chǎng)區(qū)域的寬度；
（2）先求出在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，再求出在兩段磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，三者之和即可帶電粒子從O點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到第一次回到O點(diǎn)所用時(shí)間．

解答：解：（1）電場(chǎng)中加速過程，根據(jù)動(dòng)能定理，有：qEL=

1

2

mv2，解得：v=

2qEL m

；
粒子在兩磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，有：
qvB=m

v2

r

，故r=

1

B

2mEL q

；

畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖所示，三段圓弧的圓心構(gòu)成的三角形是等邊三角形，邊長(zhǎng)為2r；
故中間磁場(chǎng)的寬度為：d=rsin60°=

1

2B

6mEL q

；
（2）粒子在電場(chǎng)中做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，加速階段由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式L=

1

2

a

t

2 1

，a=

qE

m

可得：t₁=

2mL qE

，在中間磁場(chǎng)中所用時(shí)間t₂=2×

T

6

=

2πm

3qB

；
在右側(cè)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t₃=

5

6

T=

5πm

3qB

，則t=2t₁+t₂+t₃=2

2mL qE

+

7πm

3qB

；
答：（1）中間磁場(chǎng)區(qū)域的寬度d為

1

2B

6mEL q

．
（2）帶電粒子從a點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到第一次回到a點(diǎn)時(shí)所用的時(shí)間t為2

2mL qE

+

7πm

3qB

．

點(diǎn)評(píng)：本題是帶電粒子在組合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問題，解題關(guān)鍵是畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，運(yùn)用幾何知識(shí)求解軌跡半徑．